Theorem sinhadd 51138

Description: Addition formula for sinh. (Contributed by Jon Pennant, 9-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sinhadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sinh‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sinh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) + ((cosh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))

Proof of Theorem sinhadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11312	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		sinhval-named 51119	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (sinh‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(i · (𝐴 + 𝐵))) / i))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sinh‘(𝐴 + 𝐵)) = ((sin‘(i · (𝐴 + 𝐵))) / i))
4		ax-icn 11289	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5		adddi 11319	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
7	6	fveq2d 6915	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (sin‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
8	7	oveq1d 7461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(i · (𝐴 + 𝐵))) / i) = ((sin‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) / i))
9	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
10		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		mulcl 11314	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
13	9, 12	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
14		sinadd 16364	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (sin‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = (((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
15	11, 13, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = (((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
16	15	oveq1d 7461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) / i) = ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) / i))
17	3, 8, 16	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sinh‘(𝐴 + 𝐵)) = ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) / i))
18	11	sincld 16330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	13	coscld 16331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(i · 𝐵)) ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11359	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) ∈ ℂ)
21	11	coscld 16331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22	13	sincld 16330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(i · 𝐵)) ∈ ℂ)
23	21, 22	mulcld 11359	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) ∈ ℂ)
24		ine0 11781	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
25	4, 24	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
26		divdir 12029	. . . . 5 ⊢ ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) / i) = ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) / i) + (((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) / i)))
27	25, 26	mp3an3 1480	. . . 4 ⊢ ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) ∈ ℂ) → ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) / i) = ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) / i) + (((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) / i)))
28	20, 23, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) / i) = ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) / i) + (((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) / i)))
29	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
30	18, 19, 9, 29	div23d 12160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) · (cos‘(i · 𝐵))))
31	21, 22, 9, 29	divassd 12158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) / i) = ((cos‘(i · 𝐴)) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i)))
32	30, 31	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) / i) + (((cos‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) / i)) = ((((sin‘(i · 𝐴)) / i) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))))
33	17, 28, 32	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sinh‘(𝐴 + 𝐵)) = ((((sin‘(i · 𝐴)) / i) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))))
34		sinhval-named 51119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
35		coshval-named 51120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cosh‘𝐵) = (cos‘(i · 𝐵)))
36	34, 35	oveqan12d 7465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sinh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) · (cos‘(i · 𝐵))))
37		coshval-named 51120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
38		sinhval-named 51119	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sinh‘𝐵) = ((sin‘(i · 𝐵)) / i))
39	37, 38	oveqan12d 7465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cosh‘𝐴) · (sinh‘𝐵)) = ((cos‘(i · 𝐴)) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i)))
40	36, 39	oveq12d 7464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sinh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) + ((cosh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = ((((sin‘(i · 𝐴)) / i) · (cos‘(i · 𝐵))) + ((cos‘(i · 𝐴)) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))))
41	33, 40	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sinh‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sinh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) + ((cosh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  ici 11232   + caddc 11233   · cmul 11235   / cdiv 12003  sincsin 16261  cosccos 16262  sinhcsinh 51113  coshccosh 51114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-sinh 51116  df-cosh 51117

This theorem is used by:  sinhsub  51140  tanhadd  51142