Theorem coshadd 51139

Description: Addition formula for cosh. (Contributed by Jon Pennant, 9-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
coshadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) + ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))

Proof of Theorem coshadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11312	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		coshval-named 51120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (cosh‘(𝐴 + 𝐵)) = (cos‘(i · (𝐴 + 𝐵))))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘(𝐴 + 𝐵)) = (cos‘(i · (𝐴 + 𝐵))))
4		ax-icn 11289	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		adddi 11319	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + 𝐵)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐵)))
7	6	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(i · (𝐴 + 𝐵))) = (cos‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))))
8	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
9		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	8, 11	mulcld 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
13		cosadd 16365	. . . . 5 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (cos‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = (((cos‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
14	10, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((i · 𝐴) + (i · 𝐵))) = (((cos‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
15	3, 7, 14	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
16		coshval-named 51120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
17		coshval-named 51120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cosh‘𝐵) = (cos‘(i · 𝐵)))
18	16, 17	oveqan12d 7465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) = ((cos‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))))
19	18	oveq1d 7461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) = (((cos‘(i · 𝐴)) · (cos‘(i · 𝐵))) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
20	15, 19	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))))
21		ixi 11975	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · i) = -1)
23	22	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = ( -1 · ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))
24		sinhval-named 51119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
25		sinhval-named 51119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sinh‘𝐵) = ((sin‘(i · 𝐵)) / i))
26	24, 25	oveqan12d 7465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵)) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i)))
27	26	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = ((i · i) · (((sin‘(i · 𝐴)) / i) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))))
28	23, 27	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -1 · ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = ((i · i) · (((sin‘(i · 𝐴)) / i) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))))
29	10	sincld 16330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
30		ine0 11781	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
32	29, 8, 31	divcld 12123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℂ)
33	12	sincld 16330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(i · 𝐵)) ∈ ℂ)
34	33, 8, 31	divcld 12123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(i · 𝐵)) / i) ∈ ℂ)
35	8, 8, 32, 34	mul4d 11552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · (((sin‘(i · 𝐴)) / i) · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))) = ((i · ((sin‘(i · 𝐴)) / i)) · (i · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))))
36	29, 8, 31	divcan2d 12125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘(i · 𝐴)) / i)) = (sin‘(i · 𝐴)))
37	33, 8, 31	divcan2d 12125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((sin‘(i · 𝐵)) / i)) = (sin‘(i · 𝐵)))
38	36, 37	oveq12d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((sin‘(i · 𝐴)) / i)) · (i · ((sin‘(i · 𝐵)) / i))) = ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))))
39	28, 35, 38	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -1 · ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))))
40		sinhcl 51124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) ∈ ℂ)
41		sinhcl 51124	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sinh‘𝐵) ∈ ℂ)
42		mulcl 11314	. . . . . 6 ⊢ (((sinh‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sinh‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵)) ∈ ℂ)
43	40, 41, 42	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵)) ∈ ℂ)
44	43	mulm1d 11798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -1 · ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = -((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵)))
45	39, 44	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵))) = -((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵)))
46	45	oveq2d 7462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) − ((sin‘(i · 𝐴)) · (sin‘(i · 𝐵)))) = (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) − -((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))
47		coshcl 51128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) ∈ ℂ)
48	9, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘𝐴) ∈ ℂ)
49		coshcl 51128	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cosh‘𝐵) ∈ ℂ)
50	11, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘𝐵) ∈ ℂ)
51	48, 50	mulcld 11359	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) ∈ ℂ)
52	51, 43	subnegd 11706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) − -((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))) = (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) + ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))
53	20, 46, 52	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cosh‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cosh‘𝐴) · (cosh‘𝐵)) + ((sinh‘𝐴) · (sinh‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231  ici 11232   + caddc 11233   · cmul 11235   − cmin 11571   -cneg 11572   / cdiv 12003  sincsin 16261  cosccos 16262  sinhcsinh 51113  coshccosh 51114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-sinh 51116  df-cosh 51117

This theorem is used by:  coshsub  51141  tanhadd  51142