Theorem dvply2gOLD 26327

Description: Obsolete version of dvply2g 26326 as of 30-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dvply2gOLD	⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem dvply2gOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 26237	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑎)))
4		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		dgrcl 26272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
9		uzid 12893	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ ℤ → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
10		peano2uz 12943	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
15	13, 14	coeid3 26279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
16	4, 11, 12, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
17	16	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
18	3, 17	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
19	6	nn0cnd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
20		ax-1cn 11213	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		pncan 11514	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
23	22	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) = (((deg‘𝐹) + 1) − 1))
24	23	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1)))
25	24	sumeq1d 15736	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
26	25	mpteq2dv 5244	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
27	13	coef3 26271	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
29		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 1) = (𝑏 + 1))
30		fvoveq1 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) = ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1)))
31	29, 30	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) = ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
32	31	cbvmptv 5255	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))) = (𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
33		peano2nn0 12566	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
34	6, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
35	18, 26, 28, 32, 34	dvply1 26325	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
36		cnfldbas 21368	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37	36	subrgss 20572	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
39		elfznn0 13660	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
41		zsssubrg 21443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑆)
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ 𝑆)
43		peano2nn0 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℤ)
46	42, 45	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ 𝑆)
47		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
48		subrgsubg 20577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
49		cnfld0 21405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
50	49	subg0cl 19152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
51	48, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
52	51	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝑆)
53	13	coef2 26270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶𝑆)
54	47, 52, 53	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶𝑆)
55	54, 44	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆)
56		cnfldmul 21372	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
57	56	subrgmcl 20584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑐 + 1) ∈ 𝑆 ∧ ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
58	40, 46, 55, 57	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
59	58	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))):ℕ0⟶𝑆)
60	59	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
61	39, 60	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
62	38, 6, 61	elplyd 26241	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))) ∈ (Poly‘𝑆))
63	35, 62	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722  SubGrpcsubg 19138  SubRingcsubrg 20569  ℂ_fldccnfld 21364   D cdv 25898  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230

This theorem is referenced by: (None)