Theorem dvply2gOLD 26265

Description: Obsolete version of dvply2g 26264 as of 30-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dvply2gOLD	⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem dvply2gOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 26176	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6903	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑎)))
4		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		dgrcl 26211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
9		uzid 12797	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ ℤ → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
10		peano2uz 12845	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
15	13, 14	coeid3 26218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
16	4, 11, 12, 15	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
17	16	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
18	3, 17	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
19	6	nn0cnd 12494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
20		ax-1cn 11090	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		pncan 11393	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
22	19, 20, 21	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
23	22	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) = (((deg‘𝐹) + 1) − 1))
24	23	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1)))
25	24	sumeq1d 15656	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
26	25	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
27	13	coef3 26210	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
29		oveq1 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 1) = (𝑏 + 1))
30		fvoveq1 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) = ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1)))
31	29, 30	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) = ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
32	31	cbvmptv 5190	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))) = (𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
33		peano2nn0 12471	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
34	6, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
35	18, 26, 28, 32, 34	dvply1 26263	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
36		cnfldbas 21351	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37	36	subrgss 20543	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
39		elfznn0 13568	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
41		zsssubrg 21418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑆)
42	41	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ 𝑆)
43		peano2nn0 12471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 12543	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℤ)
46	42, 45	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ 𝑆)
47		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
48		subrgsubg 20548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
49		cnfld0 21385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
50	49	subg0cl 19104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
51	48, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
52	51	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝑆)
53	13	coef2 26209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶𝑆)
54	47, 52, 53	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶𝑆)
55	54, 44	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆)
56		cnfldmul 21355	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
57	56	subrgmcl 20555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑐 + 1) ∈ 𝑆 ∧ ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
58	40, 46, 55, 57	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
59	58	fmpttd 7062	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))):ℕ0⟶𝑆)
60	59	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
61	39, 60	sylan2 594	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
62	38, 6, 61	elplyd 26180	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))) ∈ (Poly‘𝑆))
63	35, 62	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   − cmin 11371  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455  ↑cexp 14017  Σcsu 15642  SubGrpcsubg 19090  SubRingcsubrg 20540  ℂ_fldccnfld 21347   D cdv 25843  Polycply 26162  coeffccoe 26164  degcdgr 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-0p 25650  df-limc 25846  df-dv 25847  df-ply 26166  df-coe 26168  df-dgr 26169

This theorem is referenced by: (None)