Theorem mpff 22293

Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mpff	⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(𝐵 ↑m 𝐼)⟶𝐵)

Proof of Theorem mpff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpff.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
3	2	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (𝐵 ↑m 𝐼)
4	3	oveq2i 7434	. 2 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
5		eqid 2766	. 2 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
6		mpfsubrg.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7	6	mpfrcl 22266	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
8	7	simp2d 1161	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑆 ∈ CRing)
9		ovexd 7458	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V)
10	6	mpfsubrg 22292	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11	5	subrgss 20701	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
12	7, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
13		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ 𝑄)
14	12, 13	sseldd 3941	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
15	4, 1, 5, 8, 9, 14	pwselbas 17567	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(𝐵 ↑m 𝐼)⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ran crn 5667  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Basecbs 17294   ↑_s cpws 17524  CRingccrg 20341  SubRingcsubrg 20698   evalSub ces 22253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-mhm 18866  df-submnd 18867  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-sbg 19030  df-mulg 19159  df-subg 19214  df-ghm 19309  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-srg 20294  df-ring 20342  df-cring 20343  df-rhm 20580  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-assa 22033  df-asp 22034  df-ascl 22035  df-psr 22089  df-mvr 22090  df-mpl 22091  df-evls 22255

This theorem is used by:  pf1ind  22545