Theorem mpff 21888

Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mpff	⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(𝐵 ↑m 𝐼)⟶𝐵)

Proof of Theorem mpff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpff.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
3	2	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (𝐵 ↑m 𝐼)
4	3	oveq2i 7424	. 2 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
5		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
6		mpfsubrg.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7	6	mpfrcl 21869	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
8	7	simp2d 1141	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑆 ∈ CRing)
9		ovexd 7448	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V)
10	6	mpfsubrg 21887	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11	5	subrgss 20464	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
12	7, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
13		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ 𝑄)
14	12, 13	sseldd 3984	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
15	4, 1, 5, 8, 9, 14	pwselbas 17441	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(𝐵 ↑m 𝐼)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ⊆ wss 3949  ran crn 5678  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8824  Basecbs 17150   ↑_s cpws 17398  CRingccrg 20130  SubRingcsubrg 20459   evalSub ces 21854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-srg 20083  df-ring 20131  df-cring 20132  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-assa 21629  df-asp 21630  df-ascl 21631  df-psr 21683  df-mvr 21684  df-mpl 21685  df-evls 21856

This theorem is referenced by:  pf1ind  22096