Theorem mpff 22398

Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mpff	⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(𝐵 ↑m 𝐼)⟶𝐵)

Proof of Theorem mpff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpff.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
3	2	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (𝐵 ↑m 𝐼)
4	3	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
5		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
6		mpfsubrg.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7	6	mpfrcl 22371	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
8	7	simp2d 1161	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑆 ∈ CRing)
9		ovexd 7447	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V)
10	6	mpfsubrg 22397	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11	5	subrgss 20801	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
12	7, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
13		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ 𝑄)
14	12, 13	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
15	4, 1, 5, 8, 9, 14	pwselbas 17637	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(𝐵 ↑m 𝐼)⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ran crn 5652  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831  Basecbs 17364   ↑_s cpws 17594  CRingccrg 20437  SubRingcsubrg 20798   evalSub ces 22358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 9998  df-pnf 11323  df-mnf 11324  df-xr 11325  df-ltxr 11326  df-le 11327  df-sub 11521  df-neg 11522  df-nn 12314  df-2 12383  df-3 12384  df-4 12385  df-5 12386  df-6 12387  df-7 12388  df-8 12389  df-9 12390  df-n0 12585  df-z 12672  df-dec 12793  df-uz 12944  df-fz 13618  df-fzo 13766  df-seq 14122  df-hash 14452  df-struct 17302  df-sets 17319  df-slot 17337  df-ndx 17349  df-base 17365  df-ress 17386  df-plusg 17418  df-mulr 17419  df-sca 17421  df-vsca 17422  df-ip 17423  df-tset 17424  df-ple 17425  df-ds 17427  df-hom 17429  df-cco 17430  df-0g 17589  df-gsum 17590  df-prds 17595  df-pws 17597  df-mre 17733  df-mrc 17734  df-acs 17736  df-mgm 18793  df-sgrp 18885  df-mnd 18901  df-mhm 18955  df-submnd 18956  df-grp 19124  df-minusg 19125  df-sbg 19126  df-mulg 19255  df-subg 19310  df-ghm 19405  df-cntz 19508  df-cmn 19973  df-abl 19974  df-mgp 20338  df-rng 20352  df-ur 20385  df-srg 20390  df-ring 20438  df-cring 20439  df-rhm 20679  df-subrng 20775  df-subrg 20799  df-lmod 21114  df-lss 21184  df-lsp 21224  df-assa 22138  df-asp 22139  df-ascl 22140  df-psr 22194  df-mvr 22195  df-mpl 22196  df-evls 22360

This theorem is used by:  pf1ind  22650