Theorem pf1f 22243

Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1f	⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem pf1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
2		pf1f.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
4		pf1rcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
5	4	pf1rcl 22242	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
6	2	fvexi 6879	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐵 ∈ V)
8	2, 4	pf1subrg 22241	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
9	3	subrgss 20487	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
10	5, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ 𝑄)
12	10, 11	sseldd 3955	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
13	1, 2, 3, 5, 7, 12	pwselbas 17458	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:𝐵⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455   ⊆ wss 3922  ran crn 5647  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185   ↑_s cpws 17415  CRingccrg 20149  SubRingcsubrg 20484  eval₁ce1 22207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-sup 9411  df-oi 9481  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-hash 14306  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-srg 20102  df-ring 20150  df-cring 20151  df-rhm 20387  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-assa 21768  df-asp 21769  df-ascl 21770  df-psr 21824  df-mvr 21825  df-mpl 21826  df-opsr 21828  df-evls 21987  df-evl 21988  df-psr1 22070  df-ply1 22072  df-evl1 22209

This theorem is referenced by:  pf1addcl  22246  pf1mulcl  22247  pf1ind  22248