Theorem rpcxpmul2 15890

Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 15889 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem rpcxpmul2

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
2	1	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)))
3		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0)))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))))
6		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
7	6	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))))
11		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
17	16	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
19	17, 18	eqeq12d 2249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
20	19	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))))
21		rpcxp0 15875	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐0) = 1)
22	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
23		mul01 8679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
25	24	oveq2d 6074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴↑𝑐0))
26		rpcncxpcl 15879	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27	26	exp0d 11054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0) = 1)
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
29		oveq1 6065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
30		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
33		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
34	30, 32, 33	adddid 8314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
35	30	mulridd 8307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
36	35	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
37	34, 36	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
38	37	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
39		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
40	30, 32	mulcld 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
41		rpcxpadd 15882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
42	39, 40, 30, 41	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
43	38, 42	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
44		expp1 10932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
45	26, 44	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
46	43, 45	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵))))
47	29, 46	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
48	47	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
49	48	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
50	5, 10, 15, 20, 28, 49	nn0ind 9710	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
51	50	com12 30	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
52	51	3impia 1227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148  ℕ₀cn0 9513  ℝ⁺crp 10004  ↑cexp 10924  ↑_𝑐ccxp 15834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-e 12360  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14803  df-xmet 14804  df-met 14805  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-top 14975  df-topon 14988  df-bases 15020  df-ntr 15073  df-cn 15165  df-cnp 15166  df-tx 15230  df-cncf 15548  df-limced 15633  df-dvap 15634  df-relog 15835  df-rpcxp 15836

This theorem is referenced by:  rpcxpmul2d  15909