Theorem rpcxpmul2 15455

Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 15454 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem rpcxpmul2

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
2	1	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)))
3		oveq2 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0)))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))))
6		oveq2 5964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
7	6	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8		oveq2 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))))
11		oveq2 5964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
17	16	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18		oveq2 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
19	17, 18	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
20	19	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))))
21		rpcxp0 15440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐0) = 1)
22	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
23		mul01 8476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
25	24	oveq2d 5972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴↑𝑐0))
26		rpcncxpcl 15444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27	26	exp0d 10829	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0) = 1)
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
29		oveq1 5963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		nn0cn 9320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
33		1cnd 8103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
34	30, 32, 33	adddid 8112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
35	30	mulridd 8104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
36	35	oveq2d 5972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
37	34, 36	eqtrd 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
38	37	oveq2d 5972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
39		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
40	30, 32	mulcld 8108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
41		rpcxpadd 15447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
42	39, 40, 30, 41	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
43	38, 42	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
44		expp1 10708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
45	26, 44	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
46	43, 45	eqeq12d 2221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵))))
47	29, 46	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
48	47	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
49	48	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
50	5, 10, 15, 20, 28, 49	nn0ind 9502	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
51	50	com12 30	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
52	51	3impia 1203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943   · cmul 7945  ℕ₀cn0 9310  ℝ⁺crp 9790  ↑cexp 10700  ↑_𝑐ccxp 15399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060  ax-pre-suploc 8061  ax-addf 8062  ax-mulf 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-disj 4027  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-of 6170  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-oadd 6518  df-er 6632  df-map 6749  df-pm 6750  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-sup 7100  df-inf 7101  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-xneg 9909  df-xadd 9910  df-ioo 10029  df-ico 10031  df-icc 10032  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-fac 10888  df-bc 10910  df-ihash 10938  df-shft 11196  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-clim 11660  df-sumdc 11735  df-ef 12029  df-e 12030  df-rest 13143  df-topgen 13162  df-psmet 14375  df-xmet 14376  df-met 14377  df-bl 14378  df-mopn 14379  df-top 14540  df-topon 14553  df-bases 14585  df-ntr 14638  df-cn 14730  df-cnp 14731  df-tx 14795  df-cncf 15113  df-limced 15198  df-dvap 15199  df-relog 15400  df-rpcxp 15401

This theorem is referenced by:  rpcxpmul2d  15474