Theorem dflringlem2 33785

Description: Lemma for dflring3 33787. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4091	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵)
2		dflringlem2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		dflringlem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crnggrpd 20324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6	2, 3, 5	grpidcld 33359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		dflringlem2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		dflringlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
9		lringnzr 20640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NzRing)
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
13	7, 3, 11, 12	unitnz 33558	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
14	13	nelrdva 3668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	6, 14	eldifd 3916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	15	ne0d 4295	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	5	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	4	crngringd 20323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
24	23	eldifad 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
25	2, 19, 21, 22, 24	ringcld 20334	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
26		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
27	26	eldifad 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
28	2, 17, 18, 25, 27	grpcld 19009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
29	23	eldifbd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑈)
30	26	eldifbd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑈)
31		ioran 999	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (¬ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑈))
32	29, 30, 31	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
33	4	ad6antr 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
35	22	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	24	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37	25	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
39		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
41		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
42	7, 19, 2	unitmulclb 20459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
43	42	simprbda 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
44	34, 38, 40, 41, 43	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
45	7, 19, 2	unitmulclb 20459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)))
46	45	simplbda 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
47	34, 35, 36, 44, 46	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
48	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
49	27	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝐵)
51	39	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
52		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
53	7, 19, 2	unitmulclb 20459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
54	53	simprbda 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
55	48, 50, 51, 52, 54	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
56	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
57	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
58	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
59	8	ad6antr 748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	21	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 17, 19, 60, 37, 49, 39	ringdird 20342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)))
62		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
63	61, 62	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) = (1r‘𝑅))
64		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 64	1unit 20452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
66	20, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
67	66	ad6antr 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
68	63, 67	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) ∈ 𝑈)
69	2, 19, 60, 37, 39	ringcld 20334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
70	2, 19, 60, 49, 39	ringcld 20334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
71	56, 57, 58, 59, 68, 69, 70	lringuplu 20643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ∨ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈))
72	47, 55, 71	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
73	2, 7, 19, 64, 28, 21	isunit3 33560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅))))
74	73	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)))
75		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
76	75	reximi 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
77	74, 76	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
78	72, 77	r19.29a 3173	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
79	32, 78	mtand 827	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈)
80	28, 79	eldifd 3916	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
81	80	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
82	81	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
83	82	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
84		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
85	84, 2, 17, 19	islidl 21340	. 2 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)))
86	1, 16, 83, 85	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311  Unitcui 20433  NzRingcnzr 20609  LRingclring 20637  LIdealclidl 21330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-lring 20638  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332

This theorem is referenced by:  dflringlem3  33786  dflring3  33787  dflring4  33788