Theorem dflringlem2 33587

Description: Lemma for dflring3 33589. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵)
2		dflringlem2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		dflringlem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crnggrpd 20220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6	2, 3, 5	grpidcld 33120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		dflringlem2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		dflringlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
9		lringnzr 20514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NzRing)
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
13	7, 3, 11, 12	unitnz 33321	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
14	13	nelrdva 3646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	6, 14	eldifd 3894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	15	ne0d 4271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
17		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	5	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
19		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	4	crngringd 20219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpllr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
24	23	eldifad 3895	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
25	2, 19, 21, 22, 24	ringcld 20233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
26		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
27	26	eldifad 3895	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
28	2, 17, 18, 25, 27	grpcld 18915	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
29	23	eldifbd 3896	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑈)
30	26	eldifbd 3896	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑈)
31		ioran 991	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (¬ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑈))
32	29, 30, 31	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
33	4	ad6antr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
35	22	ad4antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	24	ad4antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37	25	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
39		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
41		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
42	7, 19, 2	unitmulclb 20353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
43	42	simprbda 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
44	34, 38, 40, 41, 43	syl31anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
45	7, 19, 2	unitmulclb 20353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)))
46	45	simplbda 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
47	34, 35, 36, 44, 46	syl31anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
48	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
49	27	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝐵)
51	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
52		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
53	7, 19, 2	unitmulclb 20353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
54	53	simprbda 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
55	48, 50, 51, 52, 54	syl31anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
56	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
57	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
58	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
59	8	ad6antr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	21	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 17, 19, 60, 37, 49, 39	ringdird 20237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)))
62		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
63	61, 62	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) = (1r‘𝑅))
64		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 64	1unit 20346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
66	20, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
67	66	ad6antr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
68	63, 67	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) ∈ 𝑈)
69	2, 19, 60, 37, 39	ringcld 20233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
70	2, 19, 60, 49, 39	ringcld 20233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
71	56, 57, 58, 59, 68, 69, 70	lringuplu 20517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ∨ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈))
72	47, 55, 71	orim12da 32546	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
73	2, 7, 19, 64, 28, 21	isunit3 33323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅))))
74	73	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)))
75		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
76	75	reximi 3077	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
77	74, 76	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
78	72, 77	r19.29a 3147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
79	32, 78	mtand 821	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈)
80	28, 79	eldifd 3894	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
81	80	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
82	81	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
83	82	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
84		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
85	84, 2, 17, 19	islidl 21209	. 2 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)))
86	1, 16, 83, 85	syl3anbrc 1350	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  ._rcmulr 17213  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18901  1_rcur 20154  Ringcrg 20206  CRingccrg 20207  Unitcui 20327  NzRingcnzr 20485  LRingclring 20511  LIdealclidl 21200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-nzr 20486  df-lring 20512  df-lss 20923  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202

This theorem is referenced by:  dflringlem3  33588  dflring3  33589  dflring4  33590