Theorem dflringlem2 34027

Description: Lemma for dflring3 34029. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵)
2		dflringlem2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		dflringlem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crnggrpd 20474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6	2, 3, 5	grpidcld 33600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		dflringlem2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		dflringlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
9		lringnzr 20793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NzRing)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
13	7, 3, 11, 12	unitnz 33799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
14	13	nelrdva 3663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	6, 14	eldifd 3910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	15	ne0d 4288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	4	crngringd 20473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
24	23	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
25	2, 19, 21, 22, 24	ringcld 20484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
26		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
27	26	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
28	2, 17, 18, 25, 27	grpcld 19158	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
29	23	eldifbd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑈)
30	26	eldifbd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑈)
31		ioran 999	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (¬ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑈))
32	29, 30, 31	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
33	4	ad6antr 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
35	22	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	24	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37	25	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
39		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
41		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
42	7, 19, 2	unitmulclb 20611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
43	42	simprbda 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
44	34, 38, 40, 41, 43	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
45	7, 19, 2	unitmulclb 20611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)))
46	45	simplbda 505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
47	34, 35, 36, 44, 46	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
48	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
49	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝐵)
51	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
52		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
53	7, 19, 2	unitmulclb 20611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
54	53	simprbda 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
55	48, 50, 51, 52, 54	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
56	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
57	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
58	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
59	8	ad6antr 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 17, 19, 60, 37, 49, 39	ringdird 20492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)))
62		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
63	61, 62	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) = (1r‘𝑅))
64		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 64	1unit 20604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
66	20, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
67	66	ad6antr 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
68	63, 67	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) ∈ 𝑈)
69	2, 19, 60, 37, 39	ringcld 20484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
70	2, 19, 60, 49, 39	ringcld 20484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
71	56, 57, 58, 59, 68, 69, 70	lringuplu 20796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ∨ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈))
72	47, 55, 71	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
73	2, 7, 19, 64, 28, 21	isunit3 33801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅))))
74	73	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)))
75		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
76	75	reximi 3101	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
77	74, 76	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
78	72, 77	r19.29a 3171	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
79	32, 78	mtand 828	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈)
80	28, 79	eldifd 3910	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
81	80	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
82	81	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
83	82	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
84		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
85	84, 2, 17, 19	islidl 21494	. 2 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)))
86	1, 16, 83, 85	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  Unitcui 20585  NzRingcnzr 20762  LRingclring 20790  LIdealclidl 21484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-lring 20791  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486

This theorem is used by:  dflringlem3  34028  dflring3  34029  dflring4  34030