Theorem dflringlem2 33755

Description: Lemma for dflring3 33757. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4099	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵)
2		dflringlem2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		dflringlem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	crnggrpd 20332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6	2, 3, 5	grpidcld 33329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		dflringlem2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		dflringlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
9		lringnzr 20629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NzRing)
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
13	7, 3, 11, 12	unitnz 33528	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
14	13	nelrdva 3676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (0g‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	6, 14	eldifd 3924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	15	ne0d 4303	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
17		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
18	5	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
19		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	4	crngringd 20331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
24	23	eldifad 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
25	2, 19, 21, 22, 24	ringcld 20345	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
26		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
27	26	eldifad 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
28	2, 17, 18, 25, 27	grpcld 19017	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
29	23	eldifbd 3926	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑈)
30	26	eldifbd 3926	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑈)
31		ioran 999	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (¬ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑈))
32	29, 30, 31	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
33	4	ad6antr 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
35	22	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	24	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37	25	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵)
39		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
41		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
42	7, 19, 2	unitmulclb 20466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
43	42	simprbda 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
44	34, 38, 40, 41, 43	syl31anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈)
45	7, 19, 2	unitmulclb 20466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)))
46	45	simplbda 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
47	34, 35, 36, 44, 46	syl31anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑎 ∈ 𝑈)
48	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
49	27	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝐵)
51	39	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐵)
52		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈)
53	7, 19, 2	unitmulclb 20466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)))
54	53	simprbda 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
55	48, 50, 51, 52, 54	syl31anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) ∧ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑈)
56	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
57	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
58	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
59	8	ad6antr 748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	21	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
61	2, 17, 19, 60, 37, 49, 39	ringdird 20349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)))
62		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
63	61, 62	eqtr3d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) = (1r‘𝑅))
64		eqid 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 64	1unit 20459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
66	20, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
67	66	ad6antr 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
68	63, 67	eqeltrd 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢)(+g‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑢)) ∈ 𝑈)
69	2, 19, 60, 37, 39	ringcld 20345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
70	2, 19, 60, 49, 39	ringcld 20345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝐵)
71	56, 57, 58, 59, 68, 69, 70	lringuplu 20632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈 ∨ (𝑏(.r‘𝑅)𝑢) ∈ 𝑈))
72	47, 55, 71	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅)) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
73	2, 7, 19, 64, 28, 21	isunit3 33530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅))))
74	73	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)))
75		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
76	75	reximi 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 ((((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
77	74, 76	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑢) = (1r‘𝑅))
78	72, 77	r19.29a 3180	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝑈 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈))
79	32, 78	mtand 827	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ¬ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑈)
80	28, 79	eldifd 3924	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
81	80	ralrimiva 3164	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
82	81	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))) → ∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
83	82	ralrimivva 3215	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
84		eqid 2770	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
85	84, 2, 17, 19	islidl 21323	. 2 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)∀𝑏 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)))
86	1, 16, 83, 85	syl3anbrc 1360	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∀wral 3086  ∃wrex 3096   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  ._rcmulr 17314  0_gc0g 17495  Grpcgrp 19003  1_rcur 20266  Ringcrg 20318  CRingccrg 20319  Unitcui 20440  NzRingcnzr 20598  LRingclring 20626  LIdealclidl 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-cring 20321  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-dvr 20486  df-nzr 20599  df-lring 20627  df-lss 21036  df-sra 21277  df-rgmod 21278  df-lidl 21315

This theorem is referenced by:  dflringlem3  33756  dflring3  33757  dflring4  33758