Theorem dflringlem3 33588

Description: Lemma for dflring3 33589. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20218	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		dflringlem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dflringlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dflringlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
7	4, 5, 1, 6	dflringlem2 33587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	4, 8, 2	ringidcld 20239	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11	5, 8	1unit 20346	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	3, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13		elndif 4064	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
15		nelne1 3031	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	10, 14, 15	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
17	16	necomd 2989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵)
18		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19	4, 18	lidlss 21206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
20	19	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
21		ssdif0 4295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
22	20, 21	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
23	22	uneq1d 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
24		0un 4325	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (𝑗 ∩ 𝑈)
25	23, 24	eqtr2di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
26		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗)
27		neqne 2942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
29	28	necomd 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗)
30		difdif2 4225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈))
31		pssdifn0 4297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) ≠ ∅)
32	30, 31	eqnetrrid 3009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
33	26, 29, 32	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
34	25, 33	eqnetrd 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) ≠ ∅)
35		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈))
36	35	elin2d 4135	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	35	elin1d 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑗)
38	3	ad4antr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
39		simp-4r 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	4, 5, 36, 37, 38, 39	lidlunitel 33507	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
41	34, 40	n0limd 32560	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
42	41	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 = 𝐵))
43	42	orrd 869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵))
44	43	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
45	44	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
46	4	ismxidl 33546	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))))
47	46	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))) → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
48	3, 7, 17, 45, 47	syl13anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ‘cfv 6486  Basecbs 17171  1_rcur 20154  Ringcrg 20206  CRingccrg 20207  Unitcui 20327  LRingclring 20511  LIdealclidl 21200  MaxIdealcmxidl 33543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-nzr 20486  df-lring 20512  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-mxidl 33544

This theorem is referenced by:  dflring3  33589