Theorem dflringlem3 33909

Description: Lemma for dflring3 33910. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20387	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		dflringlem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dflringlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dflringlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
7	4, 5, 1, 6	dflringlem2 33908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	4, 8, 2	ringidcld 20410	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11	5, 8	1unit 20518	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	3, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13		elndif 4080	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
15		nelne1 3052	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	10, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
17	16	necomd 3010	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵)
18		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19	4, 18	lidlss 21402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
20	19	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
21		ssdif0 4314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
23	22	uneq1d 4114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
24		0un 4346	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (𝑗 ∩ 𝑈)
25	23, 24	eqtr2di 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
26		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗)
27		neqne 2963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
29	28	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗)
30		difdif2 4242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈))
31		pssdifn0 4316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) ≠ ∅)
32	30, 31	eqnetrrid 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
33	26, 29, 32	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
34	25, 33	eqnetrd 3022	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) ≠ ∅)
35		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈))
36	35	elin2d 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	35	elin1d 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑗)
38	3	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
39		simp-4r 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	4, 5, 36, 37, 38, 39	lidlunitel 33854	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
41	34, 40	n0limd 4301	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
42	41	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 = 𝐵))
43	42	orrd 877	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵))
44	43	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
45	44	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
46	4	ismxidl 33868	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))))
47	46	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))) → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
48	3, 7, 17, 45, 47	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376  Unitcui 20499  LRingclring 20703  LIdealclidl 21396  MaxIdealcmxidl 33865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-nzr 20676  df-lring 20704  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-lidl 21398  df-mxidl 33866

This theorem is used by:  dflring3  33910