Theorem dflringlem3 33731

Description: Lemma for dflring3 33732. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20327	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		dflringlem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dflringlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dflringlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
7	4, 5, 1, 6	dflringlem2 33730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	4, 8, 2	ringidcld 20349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11	5, 8	1unit 20456	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	3, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13		elndif 4095	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
15		nelne1 3061	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	10, 14, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
17	16	necomd 3019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵)
18		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19	4, 18	lidlss 21314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
20	19	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
21		ssdif0 4329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
23	22	uneq1d 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
24		0un 4360	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (𝑗 ∩ 𝑈)
25	23, 24	eqtr2di 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
26		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗)
27		neqne 2972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
28	27	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
29	28	necomd 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗)
30		difdif2 4257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈))
31		pssdifn0 4331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) ≠ ∅)
32	30, 31	eqnetrrid 3039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
33	26, 29, 32	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
34	25, 33	eqnetrd 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) ≠ ∅)
35		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈))
36	35	elin2d 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	35	elin1d 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑗)
38	3	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
39		simp-4r 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	4, 5, 36, 37, 38, 39	lidlunitel 33675	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
41	34, 40	n0limd 4316	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
42	41	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 = 𝐵))
43	42	orrd 876	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵))
44	43	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
45	44	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
46	4	ismxidl 33690	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))))
47	46	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))) → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
48	3, 7, 17, 45, 47	syl13anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316  Unitcui 20437  LRingclring 20623  LIdealclidl 21308  MaxIdealcmxidl 33687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-nzr 20596  df-lring 20624  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-mxidl 33688

This theorem is referenced by:  dflring3  33732