Theorem dflringlem3 34084

Description: Lemma for dflring3 34085. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20487	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		dflringlem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dflringlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dflringlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
7	4, 5, 1, 6	dflringlem2 34083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	4, 8, 2	ringidcld 20510	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11	5, 8	1unit 20619	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	3, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13		elndif 4072	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
15		nelne1 3056	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	10, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
17	16	necomd 3014	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵)
18		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19	4, 18	lidlss 21505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
20	19	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
21		ssdif0 4317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
23	22	uneq1d 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
24		0un 4349	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (𝑗 ∩ 𝑈)
25	23, 24	eqtr2di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
26		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗)
27		neqne 2967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
29	28	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗)
30		difdif2 4244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈))
31		pssdifn0 4319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) ≠ ∅)
32	30, 31	eqnetrrid 3034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
33	26, 29, 32	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
34	25, 33	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) ≠ ∅)
35		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈))
36	35	elin2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	35	elin1d 4104	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑗)
38	3	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
39		simp-4r 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	4, 5, 36, 37, 38, 39	lidlunitel 34029	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
41	34, 40	n0limd 4304	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
42	41	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 = 𝐵))
43	42	orrd 877	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵))
44	43	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
45	44	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
46	4	ismxidl 34043	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))))
47	46	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))) → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
48	3, 7, 17, 45, 47	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  Unitcui 20600  LRingclring 20805  LIdealclidl 21499  MaxIdealcmxidl 34040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-nzr 20778  df-lring 20806  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501  df-mxidl 34041

This theorem is used by:  dflring3  34085