Theorem dflringlem3 33795

Description: Lemma for dflring3 33796. In a commutative local ring 𝑅, the set (𝐵 ∖ 𝑈) of non-units is a maximal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflringlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflringlem2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflringlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
dflringlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)

Assertion

Ref	Expression
dflringlem3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem dflringlem3

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflringlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20331	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		dflringlem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dflringlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dflringlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LRing)
7	4, 5, 1, 6	dflringlem2 33794	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	4, 8, 2	ringidcld 20354	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11	5, 8	1unit 20461	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	3, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13		elndif 4087	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑈 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
15		nelne1 3055	. . . 4 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
16	10, 14, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
17	16	necomd 3013	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵)
18		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19	4, 18	lidlss 21345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
20	19	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
21		ssdif0 4321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∖ 𝐵) = ∅)
23	22	uneq1d 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
24		0un 4353	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) = (𝑗 ∩ 𝑈)
25	23, 24	eqtr2di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)))
26		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗)
27		neqne 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
28	27	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 ≠ (𝐵 ∖ 𝑈))
29	28	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗)
30		difdif2 4249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) = ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈))
31		pssdifn0 4323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → (𝑗 ∖ (𝐵 ∖ 𝑈)) ≠ ∅)
32	30, 31	eqnetrrid 3033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝑗) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
33	26, 29, 32	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → ((𝑗 ∖ 𝐵) ∪ (𝑗 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
34	25, 33	eqnetrd 3025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → (𝑗 ∩ 𝑈) ≠ ∅)
35		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈))
36	35	elin2d 4158	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	35	elin1d 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑗)
38	3	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
39		simp-4r 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	4, 5, 36, 37, 38, 39	lidlunitel 33740	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑗 ∩ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
41	34, 40	n0limd 4308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) ∧ ¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈)) → 𝑗 = 𝐵)
42	41	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (¬ 𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) → 𝑗 = 𝐵))
43	42	orrd 876	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗) → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵))
44	43	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
45	44	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))
46	4	ismxidl 33754	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))))
47	46	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝐵 ∖ 𝑈) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)((𝐵 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑗 → (𝑗 = (𝐵 ∖ 𝑈) ∨ 𝑗 = 𝐵)))) → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
48	3, 7, 17, 45, 47	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑈) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320  Unitcui 20442  LRingclring 20646  LIdealclidl 21339  MaxIdealcmxidl 33751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-nzr 20619  df-lring 20647  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-lidl 21341  df-mxidl 33752

This theorem is used by:  dflring3  33796