Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxplusgvscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxplusgvscavalb 23601
 Description: The result of the addition combined with scalar multiplication in a generalized Euclidean space is defined by its coordinate-wise operations. (Contributed by AV, 21-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
rrxplusgvscavalb.r = ( ·𝑠𝐻)
rrxplusgvscavalb.i (𝜑𝐼𝑉)
rrxplusgvscavalb.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rrxplusgvscavalb.x (𝜑𝑋𝐵)
rrxplusgvscavalb.y (𝜑𝑌𝐵)
rrxplusgvscavalb.z (𝜑𝑍𝐵)
rrxplusgvscavalb.p = (+g𝐻)
rrxplusgvscavalb.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rrxplusgvscavalb (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   (𝑖)   (𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem rrxplusgvscavalb
StepHypRef Expression
1 rrxplusgvscavalb.p . . . . 5 = (+g𝐻)
2 rrxplusgvscavalb.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
3 rrxval.r . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
43rrxval 23593 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
65fveq2d 6450 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝐻) = (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
71, 6syl5eq 2825 . . . 4 (𝜑 = (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8 rrxplusgvscavalb.r . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐻)
95fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝜑 → ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
108, 9syl5eq 2825 . . . . 5 (𝜑 = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1110oveqd 6939 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
1210oveqd 6939 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝑌) = (𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌))
137, 11, 12oveq123d 6943 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌)))
1413eqeq2d 2787 . 2 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌))))
15 eqid 2777 . . 3 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
16 eqid 2777 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
17 rrxplusgvscavalb.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
185fveq2d 6450 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
19 rrxbase.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐻)
20 eqid 2777 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
2120, 16tcphbas 23425 . . . . 5 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2218, 19, 213eqtr4g 2838 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2317, 22eleqtrd 2860 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
24 rrxplusgvscavalb.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
2524, 22eleqtrd 2860 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
26 recrng 20364 . . . 4 fld ∈ *-Ring
27 srngring 19244 . . . 4 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
2826, 27mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℝfld ∈ Ring)
29 rebase 20349 . . 3 ℝ = (Base‘ℝfld)
30 rrxplusgvscavalb.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31 eqid 2777 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
3220, 31tcphvsca 23430 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3332eqcomi 2786 . . 3 ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
34 remulr 20354 . . 3 · = (.r‘ℝfld)
35 rrxplusgvscavalb.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
3635, 22eleqtrd 2860 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
37 replusg 20353 . . 3 + = (+g‘ℝfld)
38 eqid 2777 . . . . 5 (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
3920, 38tchplusg 23426 . . . 4 (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4039eqcomi 2786 . . 3 (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
41 rrxplusgvscavalb.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4215, 16, 2, 23, 25, 28, 29, 30, 33, 34, 36, 37, 40, 41frlmvplusgscavalb 20514 . 2 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
4314, 42bitrd 271 1 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271   + caddc 10275   · cmul 10277  Basecbs 16255  +gcplusg 16338   ·𝑠 cvsca 16342  Ringcrg 18934  *-Ringcsr 19236  ℝfldcrefld 20347   freeLMod cfrlm 20489  toℂPreHilctcph 23374  ℝ^crrx 23589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-refld 20348  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-tng 22797  df-tcph 23376  df-rrx 23591 This theorem is referenced by:  rrxlinesc  43464  rrxlinec  43465
 Copyright terms: Public domain W3C validator