MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxplusgvscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxplusgvscavalb 24762
Description: The result of the addition combined with scalar multiplication in a generalized Euclidean space is defined by its coordinate-wise operations. (Contributed by AV, 21-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
rrxplusgvscavalb.r βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π»)
rrxplusgvscavalb.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxplusgvscavalb.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
rrxplusgvscavalb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rrxplusgvscavalb.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rrxplusgvscavalb.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
rrxplusgvscavalb.p ✚ = (+gβ€˜π»)
rrxplusgvscavalb.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rrxplusgvscavalb (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐴,𝑖   𝐢,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   𝑖,𝑍   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑖)   ✚ (𝑖)   βˆ™ (𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem rrxplusgvscavalb
StepHypRef Expression
1 rrxplusgvscavalb.p . . . . 5 ✚ = (+gβ€˜π»)
2 rrxplusgvscavalb.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 rrxval.r . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
43rrxval 24754 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
65fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π») = (+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
71, 6eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ✚ = (+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8 rrxplusgvscavalb.r . . . . . 6 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π»)
95fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π») = ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
108, 9eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1110oveqd 7375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
1210oveqd 7375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ™ π‘Œ) = (𝐢( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))π‘Œ))
137, 11, 12oveq123d 7379 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) = ((𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐢( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))π‘Œ)))
1413eqeq2d 2748 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) ↔ 𝑍 = ((𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐢( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))π‘Œ))))
15 eqid 2737 . . 3 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
16 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
17 rrxplusgvscavalb.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
185fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
19 rrxbase.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
2120, 16tcphbas 24586 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2218, 19, 213eqtr4g 2802 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2317, 22eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
24 rrxplusgvscavalb.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
2524, 22eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
26 resrng 21028 . . . 4 ℝfld ∈ *-Ring
27 srngring 20314 . . . 4 (ℝfld ∈ *-Ring β†’ ℝfld ∈ Ring)
2826, 27mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝfld ∈ Ring)
29 rebase 21013 . . 3 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
30 rrxplusgvscavalb.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
31 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
3220, 31tcphvsca 24591 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3332eqcomi 2746 . . 3 ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
34 remulr 21018 . . 3 Β· = (.rβ€˜β„fld)
35 rrxplusgvscavalb.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3635, 22eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
37 replusg 21017 . . 3 + = (+gβ€˜β„fld)
38 eqid 2737 . . . . 5 (+gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (+gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
3920, 38tchplusg 24587 . . . 4 (+gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4039eqcomi 2746 . . 3 (+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (+gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
41 rrxplusgvscavalb.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4215, 16, 2, 23, 25, 28, 29, 30, 33, 34, 36, 37, 40, 41frlmvplusgscavalb 21180 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+gβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐢( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))π‘Œ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
4314, 42bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11051   + caddc 11055   Β· cmul 11057  Basecbs 17084  +gcplusg 17134   ·𝑠 cvsca 17138  Ringcrg 19965  *-Ringcsr 20306  β„fldcrefld 21011   freeLMod cfrlm 21155  toβ„‚PreHilctcph 24534  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cmn 19565  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  rrxlinesc  46828  rrxlinec  46829
  Copyright terms: Public domain W3C validator