MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxplusgvscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxplusgvscavalb 25429
Description: The result of the addition combined with scalar multiplication in a generalized Euclidean space is defined by its coordinate-wise operations. (Contributed by AV, 21-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
rrxplusgvscavalb.r = ( ·𝑠𝐻)
rrxplusgvscavalb.i (𝜑𝐼𝑉)
rrxplusgvscavalb.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rrxplusgvscavalb.x (𝜑𝑋𝐵)
rrxplusgvscavalb.y (𝜑𝑌𝐵)
rrxplusgvscavalb.z (𝜑𝑍𝐵)
rrxplusgvscavalb.p = (+g𝐻)
rrxplusgvscavalb.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rrxplusgvscavalb (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝐴,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   (𝑖)   (𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem rrxplusgvscavalb
StepHypRef Expression
1 rrxplusgvscavalb.p . . . . 5 = (+g𝐻)
2 rrxplusgvscavalb.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
3 rrxval.r . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
43rrxval 25421 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
65fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝐻) = (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
71, 6eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 = (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8 rrxplusgvscavalb.r . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐻)
95fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
108, 9eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑 = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1110oveqd 7448 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
1210oveqd 7448 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝑌) = (𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌))
137, 11, 12oveq123d 7452 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌)))
1413eqeq2d 2748 . 2 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌))))
15 eqid 2737 . . 3 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
16 eqid 2737 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
17 rrxplusgvscavalb.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
185fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
19 rrxbase.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐻)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
2120, 16tcphbas 25253 . . . . 5 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2218, 19, 213eqtr4g 2802 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2317, 22eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
24 rrxplusgvscavalb.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
2524, 22eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
26 resrng 21639 . . . 4 fld ∈ *-Ring
27 srngring 20847 . . . 4 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
2826, 27mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℝfld ∈ Ring)
29 rebase 21624 . . 3 ℝ = (Base‘ℝfld)
30 rrxplusgvscavalb.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
3220, 31tcphvsca 25258 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3332eqcomi 2746 . . 3 ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
34 remulr 21629 . . 3 · = (.r‘ℝfld)
35 rrxplusgvscavalb.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
3635, 22eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
37 replusg 21628 . . 3 + = (+g‘ℝfld)
38 eqid 2737 . . . . 5 (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
3920, 38tchplusg 25254 . . . 4 (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4039eqcomi 2746 . . 3 (+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (+g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
41 rrxplusgvscavalb.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4215, 16, 2, 23, 25, 28, 29, 30, 33, 34, 36, 37, 40, 41frlmvplusgscavalb 21791 . 2 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)(+g‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))(𝐶( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
4314, 42bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158   · cmul 11160  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   ·𝑠 cvsca 17301  Ringcrg 20230  *-Ringcsr 20839  fldcrefld 21622   freeLMod cfrlm 21766  toℂPreHilctcph 25201  ℝ^crrx 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419
This theorem is referenced by:  rrxlinesc  48656  rrxlinec  48657
  Copyright terms: Public domain W3C validator