Theorem sadass 16412

Description: Sequence addition is associative. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadass	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))

Proof of Theorem sadass

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sadcl 16403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
2		sadcl 16403	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
3	1, 2	stoic3 1779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
4	3	sseld 3982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0))
5		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6		sadcl 16403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7	6	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
8		sadcl 16403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
9	5, 7, 8	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
10	9	sseld 3982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
11		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
12		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
13		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ ℕ0)
14		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		1nn0 12488	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
17	14, 16	nn0addcld 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
18	11, 12, 13, 17	sadasslem 16411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
19	18	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
20		elin 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
21		elin 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
22	19, 20, 21	3bitr3g 313	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
23		nn0uz 12864	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
24	14, 23	eleqtrdi 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
25		eluzfz2 13509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
27	14	nn0zd 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
28		fzval3 13701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
30	26, 29	eleqtrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	biantrud 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
32	30	biantrud 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
33	22, 31, 32	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
34	33	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))))
35	4, 10, 34	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
36	35	eqrdv 2731	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627   sadd csad 16361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-bits 16363  df-sad 16392

This theorem is referenced by:  bitsres  16414