MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadass 15818
Description: Sequence addition is associative. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadass ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))

Proof of Theorem sadass
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcl 15809 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
2 sadcl 15809 . . . . 5 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
31, 2stoic3 1778 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
43sseld 3952 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0))
5 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6 sadcl 15809 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
763adant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
8 sadcl 15809 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
95, 7, 8syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
109sseld 3952 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
11 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
12 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
13 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ ℕ0)
14 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15 1nn0 11910 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
1714, 16nn0addcld 11956 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
1811, 12, 13, 17sadasslem 15817 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
1918eleq2d 2901 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
20 elin 3935 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
21 elin 3935 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
2219, 20, 213bitr3g 316 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
23 nn0uz 12277 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2414, 23eleqtrdi 2926 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
25 eluzfz2 12919 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
2714nn0zd 12082 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 fzval3 13110 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
3026, 29eleqtrd 2918 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
3130biantrud 535 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
3230biantrud 535 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
3322, 31, 323bitr4d 314 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
3433ex 416 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))))
354, 10, 34pm5.21ndd 384 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
3635eqrdv 2822 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  wss 3919  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037   sadd csad 15767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-dvds 15608  df-bits 15769  df-sad 15798
This theorem is referenced by:  bitsres  15820
  Copyright terms: Public domain W3C validator