MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadass 16449
Description: Sequence addition is associative. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadass ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))

Proof of Theorem sadass
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcl 16440 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
2 sadcl 16440 . . . . 5 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
31, 2stoic3 1770 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
43sseld 3975 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0))
5 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6 sadcl 16440 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
763adant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
8 sadcl 16440 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
95, 7, 8syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
109sseld 3975 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
11 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
12 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
13 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ ℕ0)
14 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15 1nn0 12521 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
1714, 16nn0addcld 12569 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
1811, 12, 13, 17sadasslem 16448 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
1918eleq2d 2811 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
20 elin 3960 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
21 elin 3960 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
2219, 20, 213bitr3g 312 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
23 nn0uz 12897 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2414, 23eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
25 eluzfz2 13544 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
2714nn0zd 12617 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 fzval3 13736 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
3026, 29eleqtrd 2827 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
3130biantrud 530 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
3230biantrud 530 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
3322, 31, 323bitr4d 310 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
3433ex 411 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))))
354, 10, 34pm5.21ndd 378 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
3635eqrdv 2723 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3943  wss 3944  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662   sadd csad 16398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1587  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-bits 16400  df-sad 16429
This theorem is referenced by:  bitsres  16451
  Copyright terms: Public domain W3C validator