Theorem sadass 16435

Description: Sequence addition is associative. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sadass	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))

Proof of Theorem sadass

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sadcl 16426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
2		sadcl 16426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
3	1, 2	stoic3 1784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
4	3	sseld 3916	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0))
5		simp1 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
6		sadcl 16426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
7	6	3adant1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0)
8		sadcl 16426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 sadd 𝐶) ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
9	5, 7, 8	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ⊆ ℕ0)
10	9	sseld 3916	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) → 𝑘 ∈ ℕ0))
11		simpl1 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
12		simpl2 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
13		simpl3 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ⊆ ℕ0)
14		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		1nn0 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
17	14, 16	nn0addcld 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
18	11, 12, 13, 17	sadasslem 16434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
19	18	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))))
20		elin 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
21		elin 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
22	19, 20, 21	3bitr3g 315	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
23		nn0uz 12821	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
24	14, 23	eleqtrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
25		eluzfz2 13481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0...𝑘))
27	14	nn0zd 12544	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
28		fzval3 13684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) = (0..^(𝑘 + 1)))
30	26, 29	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
31	30	biantrud 537	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
32	30	biantrud 537	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))))
33	22, 31, 32	3bitr4d 313	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
34	33	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))))
35	4, 10, 34	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → (𝑘 ∈ ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶))))
36	35	eqrdv 2739	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐶 ⊆ ℕ0) → ((𝐴 sadd 𝐵) sadd 𝐶) = (𝐴 sadd (𝐵 sadd 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603   sadd csad 16384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-xor 1520  df-tru 1551  df-fal 1561  df-had 1602  df-cad 1615  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-dvds 16217  df-bits 16386  df-sad 16415

This theorem is referenced by:  bitsres  16437