Theorem iblpos 25762

Description: Integrability of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iblpos	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblrelem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	iblrelem 25760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
3		df-3an 1089	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ))
4	2, 3	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
5		iblpos.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
6	1, 5	iblposlem 25761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
7		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)
9	8	biantrud 531	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
10	5	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 𝐵))
11	10	pm4.71rd 562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
12		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
13	11, 12	bitr2di 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
14	13	ifbid 4505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
15	14	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
16	15	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
17	16	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
18	17	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
19	4, 9, 18	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179  -cneg 11377  MblFncmbf 25583  ∫₂citg2 25585  𝐿¹cibl 25586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-itg2 25590  df-ibl 25591  df-0p 25639

This theorem is referenced by:  iblre  25763  itgposval  25765  itgreval  25766  itgaddlem1  25792  iblabs  25798  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgmulc2lem1  25801  bddmulibl  25808  itgcn  25814  itgaddnclem1  37929  iblabsnc  37935  itgmulc2nclem1  37937  ftc1anclem2  37945  ftc1anclem4  37947  ftc1anclem5  37948