Theorem cnioobibld 43197

Description: A bounded, continuous function on an open bounded interval is integrable. The function must be bounded. For a counterexample, consider 𝐹 = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (1 / 𝑥)). See cniccibl 25776 for closed bounded intervals. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnioobibld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cnioobibld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cnioobibld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cnioobibld.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
cnioobibld	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnioobibld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 25500	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		cnioobibld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
3		cnmbf 25594	. . 3 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
5		cncff 24820	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6		fdm 6679	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
8	7	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘dom 𝐹) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
9		cnioobibld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		cnioobibld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11		ioovolcl 25505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
13	8, 12	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
14		cnioobibld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
15		bddibl 25775	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
16	4, 13, 14, 15	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045   ≤ cle 11187  (,)cioo 13284  abscabs 15177  –cn→ccncf 24803  volcvol 25398  MblFncmbf 25549  𝐿¹cibl 25552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cc 10366  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9832  df-card 9870  df-acn 9873  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-ioc 13289  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-mod 13810  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17362  df-topn 17363  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-pt 17384  df-prds 17387  df-xrs 17442  df-qtop 17447  df-imas 17448  df-xps 17450  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-cmp 23308  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24805  df-ovol 25399  df-vol 25400  df-mbf 25554  df-itg1 25555  df-itg2 25556  df-ibl 25557  df-0p 25605

This theorem is referenced by: (None)