Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnioobibld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnioobibld 42707
Description: A bounded, continuous function on an open bounded interval is integrable. The function must be bounded. For a counterexample, consider 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0(,)1) ↦ (1 / π‘₯)). See cniccibl 25788 for closed bounded intervals. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnioobibld.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cnioobibld.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cnioobibld.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
cnioobibld.4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
cnioobibld (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnioobibld
StepHypRef Expression
1 ioombl 25512 . . 3 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
2 cnioobibld.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
3 cnmbf 25606 . . 3 (((𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
41, 2, 3sylancr 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
5 cncff 24831 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
6 fdm 6726 . . . . 5 (𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
72, 5, 63syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐡))
87fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜dom 𝐹) = (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
9 cnioobibld.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 cnioobibld.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
11 ioovolcl 25517 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (volβ€˜(𝐴(,)𝐡)) ∈ ℝ)
138, 12eqeltrd 2825 . 2 (πœ‘ β†’ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ)
14 cnioobibld.4 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
15 bddibl 25787 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
164, 13, 14, 15syl3anc 1368 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137   ≀ cle 11279  (,)cioo 13356  abscabs 15213  β€“cnβ†’ccncf 24814  volcvol 25410  MblFncmbf 25561  πΏ1cibl 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-0p 25617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator