Theorem pg4cyclnex 48950

Description: In the Petersen graph G(5,2), there is no cycle of length 4. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pg4cyclnex	⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

Proof of Theorem pg4cyclnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
2	1	pgn4cyclex 48949	. . . 4 ⊢ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 → (♯‘𝑓) ≠ 4)
3	2	imori 868	. . 3 ⊢ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
4	3	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
5		2nexaln 1863	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
6		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4))
7		df-ne 2961	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 4 ↔ ¬ (♯‘𝑓) = 4)
8	7	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑓) = 4 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 4)
9	8	orbi2i 926	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
10	6, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
11	10	2albii 1853	. . 3 ⊢ (∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
12	5, 11	bitri 278	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
13	4, 12	mpbir 234	1 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  2c2 12310  4c4 12312  5c5 12313  ♯chash 14384  Cyclesccycls 30199   gPetersenGr cgpg 48863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-ceil 13844  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-word 14569  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-edgf 29394  df-vtx 29403  df-iedg 29404  df-edg 29453  df-uhgr 29463  df-upgr 29487  df-umgr 29488  df-uspgr 29558  df-usgr 29559  df-nbgr 29741  df-wlks 30007  df-trls 30102  df-pths 30126  df-cycls 30201  df-gpg 48864

This theorem is used by:  gpg5ngric  48951