Theorem pg4cyclnex 48090

Description: In the Petersen graph G(5,2), there is no cycle of length 4. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pg4cyclnex	⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

Proof of Theorem pg4cyclnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
2	1	pgn4cyclex 48089	. . . 4 ⊢ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 → (♯‘𝑓) ≠ 4)
3	2	imori 854	. . 3 ⊢ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
4	3	gen2 1796	. 2 ⊢ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
5		2nexaln 1830	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
6		ianor 983	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4))
7		df-ne 2926	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 4 ↔ ¬ (♯‘𝑓) = 4)
8	7	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑓) = 4 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 4)
9	8	orbi2i 912	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
10	6, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
11	10	2albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
12	5, 11	bitri 275	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
13	4, 12	mpbir 231	1 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  2c2 12217  4c4 12219  5c5 12220  ♯chash 14271  Cyclesccycls 29688   gPetersenGr cgpg 48004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-ceil 13731  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-word 14455  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-edgf 28892  df-vtx 28901  df-iedg 28902  df-edg 28951  df-uhgr 28961  df-upgr 28985  df-umgr 28986  df-uspgr 29053  df-usgr 29054  df-nbgr 29236  df-wlks 29503  df-trls 29594  df-pths 29617  df-cycls 29690  df-gpg 48005

This theorem is referenced by:  gpg5ngric  48091