Theorem pg4cyclnex 49498

Description: In the Petersen graph G(5,2), there is no cycle of length 4. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pg4cyclnex	⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

Proof of Theorem pg4cyclnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
2	1	pgn4cyclex 49497	. . . 4 ⊢ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 → (♯‘𝑓) ≠ 4)
3	2	imori 868	. . 3 ⊢ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
4	3	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
5		2nexaln 1863	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
6		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4))
7		df-ne 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 4 ↔ ¬ (♯‘𝑓) = 4)
8	7	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑓) = 4 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 4)
9	8	orbi2i 926	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
10	6, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
11	10	2albii 1853	. . 3 ⊢ (∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
12	5, 11	bitri 278	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
13	4, 12	mpbir 234	1 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  2c2 12437  4c4 12439  5c5 12440  ♯chash 14515  Cyclesccycls 30429   gPetersenGr cgpg 49411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-ceil 13973  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-edgf 29624  df-vtx 29633  df-iedg 29634  df-edg 29683  df-uhgr 29693  df-upgr 29717  df-umgr 29718  df-uspgr 29788  df-usgr 29789  df-nbgr 29971  df-wlks 30237  df-trls 30332  df-pths 30356  df-cycls 30431  df-gpg 49412

This theorem is used by:  gpg5ngric  49499