Theorem pg4cyclnex 49043

Description: In the Petersen graph G(5,2), there is no cycle of length 4. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pg4cyclnex	⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

Proof of Theorem pg4cyclnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
2	1	pgn4cyclex 49042	. . . 4 ⊢ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 → (♯‘𝑓) ≠ 4)
3	2	imori 868	. . 3 ⊢ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
4	3	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4)
5		2nexaln 1863	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))
6		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4))
7		df-ne 2956	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 4 ↔ ¬ (♯‘𝑓) = 4)
8	7	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑓) = 4 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 4)
9	8	orbi2i 926	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ ¬ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
10	6, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
11	10	2albii 1853	. . 3 ⊢ (∀𝑝∀𝑓 ¬ (𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
12	5, 11	bitri 278	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ ∀𝑝∀𝑓(¬ 𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∨ (♯‘𝑓) ≠ 4))
13	4, 12	mpbir 234	1 ⊢ ¬ ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(5 gPetersenGr 2))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  ♯chash 14394  Cyclesccycls 30251   gPetersenGr cgpg 48956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-ceil 13854  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-edgf 29446  df-vtx 29455  df-iedg 29456  df-edg 29505  df-uhgr 29515  df-upgr 29539  df-umgr 29540  df-uspgr 29610  df-usgr 29611  df-nbgr 29793  df-wlks 30059  df-trls 30154  df-pths 30178  df-cycls 30253  df-gpg 48957

This theorem is used by:  gpg5ngric  49044