Theorem pgn4cyclex 49193

Description: A cycle in a Petersen graph G(5,2) does not have length 4. (Contributed by AV, 9-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgn4cyclex.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)

Assertion

Ref	Expression
pgn4cyclex	⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 4)

Proof of Theorem pgn4cyclex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgn4cyclex.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
2		pgjsgr 49159	. . . . . . 7 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ USGraph
3	1, 2	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
4		usgrupgr 29759	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
8	6, 7	upgr4cycl4dv4e 30779	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
9	5, 8	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
10	7	nbusgreledg 29927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑎 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	10	bicomd 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑎 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏)))
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝑎 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑎 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏))
14	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑎 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏))
15		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏}
16	15	eleq1i 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))
17	16	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) → {𝑐, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))
18	7	nbusgreledg 29927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑐 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏) ↔ {𝑐, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	3, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏) ↔ {𝑐, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))
20	17, 19	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) → 𝑐 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏))
21	20	ad3antlr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏))
22		simprl2 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑎 ≠ 𝑐)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑎 ≠ 𝑐)
24		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑏) = (𝐺 NeighbVtx 𝑏)
25	1, 6, 7, 24	pgnbgreunbgr 49192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏) ∧ 𝑐 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑏) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
26	14, 21, 23, 25	syl2an23an 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
27		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
28		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))
31	29, 30	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)))
32		simprr2 1241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑏 ≠ 𝑑)
33	31, 32	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ((𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑))
34		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑) ↔ ((𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑))
35	33, 34	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑))
36		4cycl2vnunb 30884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
37	27, 28, 35, 36	syl2an23an 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
38	26, 37	pm2.21dd 198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4)
39	38	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
40	39	rexlimdvva 3220	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
41	40	rexlimivv 3205	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (♯‘𝐹) ≠ 4)
42	9, 41	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → (♯‘𝐹) ≠ 4)
43	42	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))
44		neqne 2964	. 2 ⊢ (¬ (♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)
45	43, 44	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  2c2 12390  4c4 12392  5c5 12393  ♯chash 14467  Vtxcvtx 29567  Edgcedg 29618  UPGraphcupgr 29651  USGraphcusgr 29723   NeighbVtx cnbgr 29906  Cyclesccycls 30365   gPetersenGr cgpg 49107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-ico 13475  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-ceil 13926  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-word 14652  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-edgf 29560  df-vtx 29569  df-iedg 29570  df-edg 29619  df-uhgr 29629  df-upgr 29653  df-umgr 29654  df-uspgr 29724  df-usgr 29725  df-nbgr 29907  df-wlks 30173  df-trls 30268  df-pths 30292  df-cycls 30367  df-gpg 49108

This theorem is used by:  pg4cyclnex  49194