Theorem pjth2 25504

Description: Projection Theorem with abbreviations: A topologically closed subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjth2.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem pjth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2764	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		eqid 2764	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		pjth2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
6		pjth2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	pjth 25503	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))
8		hlphl 25429	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9	8	3ad2ant1 1147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		pjth2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
11	2, 6, 4, 3, 10	pjdm2 21765	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑈 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))))
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 723	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  TopOpenctopn 17452  LSSumclsm 19676  LSubSpclss 21000  PreHilcphl 21678  ocvcocv 21714  projcpj 21754  Clsdccld 23078  ℂHilchl 25398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-pj1 19679  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-drng 20783  df-staf 20890  df-srng 20891  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lmhm 21091  df-lvec 21172  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-phl 21680  df-ocv 21717  df-pj 21757  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-cmp 23449  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-flim 24001  df-fcls 24003  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-nm 24644  df-ngp 24645  df-nlm 24648  df-cncf 24942  df-clm 25127  df-cph 25232  df-cfil 25319  df-cmet 25321  df-cms 25399  df-bn 25400  df-hl 25401

This theorem is referenced by:  cldcss  25505  hlhil  25507