Theorem pjth2 25700

Description: Projection Theorem with abbreviations: A topologically closed subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjth2.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem pjth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		pjth2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
6		pjth2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	pjth 25699	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))
8		hlphl 25625	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9	8	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		pjth2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
11	2, 6, 4, 3, 10	pjdm2 21956	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑈 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))))
12	9, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5655  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  TopOpenctopn 17531  LSSumclsm 19787  LSubSpclss 21145  PreHilcphl 21869  ocvcocv 21905  projcpj 21945  Clsdccld 23273  ℂHilchl 25594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-lsm 19789  df-pj1 19790  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-rhm 20641  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-drng 20921  df-staf 21035  df-srng 21036  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lmhm 21236  df-lvec 21317  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-phl 21871  df-ocv 21908  df-pj 21948  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-haus 23572  df-cmp 23644  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-flim 24197  df-fcls 24199  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-nm 24840  df-ngp 24841  df-nlm 24844  df-cncf 25138  df-clm 25323  df-cph 25428  df-cfil 25515  df-cmet 25517  df-cms 25595  df-bn 25596  df-hl 25597

This theorem is used by:  cldcss  25701  hlhil  25703