Theorem pjth2 25655

Description: Projection Theorem with abbreviations: A topologically closed subspace is a projection subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth2.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjth2.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom 𝐾)

Proof of Theorem pjth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		pjth2.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
6		pjth2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	pjth 25654	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))
8		hlphl 25580	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9	8	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
10		pjth2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
11	2, 6, 4, 3, 10	pjdm2 21916	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑈 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))))
12	9, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑈)) = (Base‘𝑊))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  dom cdm 5663  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  TopOpenctopn 17501  LSSumclsm 19753  LSubSpclss 21107  PreHilcphl 21829  ocvcocv 21865  projcpj 21905  Clsdccld 23228  ℂHilchl 25549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199  ax-mulf 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-fi 9379  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13397  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-pt 17524  df-prds 17527  df-xrs 17583  df-qtop 17588  df-imas 17589  df-xps 17591  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-lsm 19755  df-pj1 19756  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-invr 20521  df-dvr 20534  df-rhm 20605  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-drng 20884  df-staf 20997  df-srng 20998  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-lmhm 21198  df-lvec 21279  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-fbas 21574  df-fg 21575  df-cnfld 21578  df-phl 21831  df-ocv 21868  df-pj 21908  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-cld 23231  df-ntr 23232  df-cls 23233  df-nei 23310  df-cn 23439  df-cnp 23440  df-haus 23527  df-cmp 23599  df-tx 23775  df-hmeo 23968  df-fil 24059  df-flim 24152  df-fcls 24154  df-xms 24533  df-ms 24534  df-tms 24535  df-nm 24795  df-ngp 24796  df-nlm 24799  df-cncf 25093  df-clm 25278  df-cph 25383  df-cfil 25470  df-cmet 25472  df-cms 25550  df-bn 25551  df-hl 25552

This theorem is used by:  cldcss  25656  hlhil  25658