Theorem prmsimpcyc 33588

Description: A group of prime order is cyclic if and only if it is simple. This is the first family of finite simple groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmsimpcyc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmsimpcyc	⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ 𝐺 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem prmsimpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpggrp 20190	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		id 23	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
3		prmsimpcyc.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	prmcyg 19988	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
5	1, 2, 4	syl2anr 609	. 2 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ CycGrp)
6		cyggrp 19984	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simpl 488	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
9	3, 7, 8	prmgrpsimpgd 20210	. 2 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
10	5, 9	impbida 813	1 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ 𝐺 ∈ CycGrp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ♯chash 14380  ℙcprime 16747  Basecbs 17287  Grpcgrp 19024  CycGrpccyg 19971  SimpGrpcsimpg 20186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-sum 15758  df-dvds 16329  df-prm 16748  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-nsg 19214  df-eqg 19215  df-od 19622  df-cyg 19972  df-simpg 20187

This theorem is used by: (None)