Theorem prmsimpcyc 30877

Description: A group of prime order is cyclic if and only if it is simple. This is the first family of finite simple groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmsimpcyc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmsimpcyc	⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ 𝐺 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem prmsimpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpggrp 19212	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		id 22	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
3		prmsimpcyc.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	prmcyg 19010	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
5	1, 2, 4	syl2anr 598	. 2 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ CycGrp)
6		cyggrp 19005	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simpl 485	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
9	3, 7, 8	prmgrpsimpgd 19232	. 2 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
10	5, 9	impbida 799	1 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ 𝐺 ∈ CycGrp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6352  ♯chash 13688  ℙcprime 16011  Basecbs 16479  Grpcgrp 18099  CycGrpccyg 18992  SimpGrpcsimpg 19208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-ec 8288  df-qs 8292  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-rp 12388  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-prm 16012  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-od 18652  df-cyg 18993  df-simpg 19209

This theorem is referenced by: (None)