Theorem prmsimpcyc 33561

Description: A group of prime order is cyclic if and only if it is simple. This is the first family of finite simple groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmsimpcyc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmsimpcyc	⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ 𝐺 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem prmsimpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpggrp 20176	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		id 23	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
3		prmsimpcyc.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	prmcyg 19974	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
5	1, 2, 4	syl2anr 609	. 2 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ SimpGrp) → 𝐺 ∈ CycGrp)
6		cyggrp 19970	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simpl 488	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
9	3, 7, 8	prmgrpsimpgd 20196	. 2 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ CycGrp) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
10	5, 9	impbida 813	1 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (𝐺 ∈ SimpGrp ↔ 𝐺 ∈ CycGrp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ♯chash 14377  ℙcprime 16739  Basecbs 17279  Grpcgrp 19010  CycGrpccyg 19957  SimpGrpcsimpg 20172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-disj 5080  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550  df-sum 15749  df-dvds 16321  df-prm 16740  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-0g 17504  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-mulg 19144  df-subg 19199  df-nsg 19200  df-eqg 19201  df-od 19608  df-cyg 19958  df-simpg 20173

This theorem is used by: (None)