Theorem reperf 23130

Description: The real numbers are a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
reperf	⊢ (𝐽 ↾t ℝ) ∈ Perf

Proof of Theorem reperf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		readdcl 10418	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		ax-resscn 10392	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	1, 2, 3	reperflem 23129	1 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ) ∈ Perf

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℝcr 10334   ↾_t crest 16550  TopOpenctopn 16551  ℂ_fldccnfld 20247  Perfcperf 21447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-rest 16552  df-topn 16553  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-xms 22633  df-ms 22634

This theorem is referenced by:  recnperf  24206