Theorem constlimc 46054

Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
constlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
constlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
constlimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
constlimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
constlimc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem constlimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constlimc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		1rp 12946	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴)
5		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑣 ∈ V
6		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7		csbtt 3854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ Ⅎ𝑥𝐵) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
9	8, 1	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
11		constlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	11	fvmpts 6951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑣) = ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)
13	4, 10, 12	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) = ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐵) = (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐵))
15	8	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵)
16	14, 15	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
17	16	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐵)))
18	1	subidd 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
19	18	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
21		abs0 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘0) = 0)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = 0)
24	23	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = 0)
25		rpgt0 12955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
26	25	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
27	24, 26	eqbrtrd 5107	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)
28	27	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
29	28	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
30		brimralrspcev 5146	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
31	3, 29, 30	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
32	31	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
33	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	33, 11	fmptd 7066	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35		constlimc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
36		constlimc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	ellimc3 25846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))))
38	1, 32, 37	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ⦋csb 3837   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   − cmin 11377  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   lim_ℂ climc 25829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cnp 23193  df-xms 24285  df-ms 24286  df-limc 25833

This theorem is referenced by:  reclimc  46081  fourierdlem53  46587  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem73  46607  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fouriersw  46659