Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constlimc 44912
Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constlimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
constlimc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
constlimc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
constlimc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
constlimc (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem constlimc
Dummy variables 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constlimc.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 1rp 12984 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
32a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ+)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
5 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
6 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯𝐡
7 csbtt 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ V ∧ β„²π‘₯𝐡) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 = 𝐡)
85, 6, 7mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 = 𝐡
98, 1eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
11 constlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1211fvmpts 6995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)
134, 10, 12syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)
1413oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡) = (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐡))
158oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐡)
1614, 15eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
1716fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐡)))
181subidd 11563 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
1918fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜0))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜0))
21 abs0 15238 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜0) = 0)
2317, 20, 223eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) = 0)
2423adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) = 0)
25 rpgt0 12992 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑦)
2625ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 0 < 𝑦)
2724, 26eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)
2827a1d 25 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
2928ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
30 brimralrspcev 5202 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
313, 29, 30syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
3231ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
331adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3433, 11fmptd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
35 constlimc.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
36 constlimc.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3734, 35, 36ellimc3 25763 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))))
381, 32, 37mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  abscabs 15187   limβ„‚ climc 25746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750
This theorem is referenced by:  reclimc  44941  fourierdlem53  45447  fourierdlem60  45454  fourierdlem61  45455  fourierdlem73  45467  fourierdlem74  45468  fourierdlem75  45469  fourierdlem76  45470  fouriersw  45519
  Copyright terms: Public domain W3C validator