Theorem constlimc 45653

Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
constlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
constlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
constlimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
constlimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
constlimc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem constlimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constlimc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		1rp 13012	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴)
5		vex 3463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑣 ∈ V
6		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7		csbtt 3891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ Ⅎ𝑥𝐵) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
9	8, 1	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
11		constlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	11	fvmpts 6989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑣) = ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)
13	4, 10, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) = ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐵) = (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐵))
15	8	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵)
16	14, 15	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
17	16	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐵)))
18	1	subidd 11582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
19	18	fveq2d 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
21		abs0 15304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘0) = 0)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = 0)
24	23	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = 0)
25		rpgt0 13021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
26	25	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
27	24, 26	eqbrtrd 5141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)
28	27	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
29	28	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
30		brimralrspcev 5180	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
31	3, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
32	31	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
33	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	33, 11	fmptd 7104	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35		constlimc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
36		constlimc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	ellimc3 25832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))))
38	1, 32, 37	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  ⦋csb 3874   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269   − cmin 11466  ℝ⁺crp 13008  abscabs 15253   lim_ℂ climc 25815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cnp 23166  df-xms 24259  df-ms 24260  df-limc 25819

This theorem is referenced by:  reclimc  45682  fourierdlem53  46188  fourierdlem60  46195  fourierdlem61  46196  fourierdlem73  46208  fourierdlem74  46209  fourierdlem75  46210  fourierdlem76  46211  fouriersw  46260