Theorem constlimc 46851

Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
constlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
constlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
constlimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
constlimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
constlimc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem constlimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constlimc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		1rp 13154	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
4		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴)
5		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑣 ∈ V
6		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7		csbtt 3868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ Ⅎ𝑥𝐵) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
9	8, 1	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
11		constlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
12	11	fvmpts 7023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑣) = ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)
13	4, 10, 12	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) = ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐵) = (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐵))
15	8	oveq1i 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵)
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
17	16	fveq2d 6915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐵)))
18	1	subidd 11687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
19	18	fveq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
21		abs0 15484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘0) = 0)
23	17, 20, 22	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = 0)
24	23	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) = 0)
25		rpgt0 13163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
26	25	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
27	24, 26	eqbrtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)
28	27	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
29	28	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
30		brimralrspcev 5170	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
31	3, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
32	31	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
33	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	33, 11	fmptd 7141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35		constlimc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
36		constlimc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	ellimc3 26232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐶 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))))
38	1, 32, 37	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231   < clt 11373   − cmin 11571  ℝ⁺crp 13150  abscabs 15433   lim_ℂ climc 26215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-fz 13670  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-rest 17625  df-topn 17626  df-topgen 17646  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cnp 23579  df-xms 24672  df-ms 24673  df-limc 26219

This theorem is used by:  reclimc  46878  fourierdlem53  47384  fourierdlem60  47391  fourierdlem61  47392  fourierdlem73  47404  fourierdlem74  47405  fourierdlem75  47406  fourierdlem76  47407  fouriersw  47456