Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constlimc 45075
Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constlimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
constlimc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
constlimc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
constlimc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
constlimc (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem constlimc
Dummy variables 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constlimc.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 1rp 13010 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
32a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ+)
4 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
5 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
6 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯𝐡
7 csbtt 3901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ V ∧ β„²π‘₯𝐡) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 = 𝐡)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 = 𝐡
98, 1eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
109adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
11 constlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1211fvmpts 7003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)
134, 10, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)
1413oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡) = (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐡))
158oveq1i 7426 . . . . . . . . . . 11 (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐡)
1614, 15eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
1716fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐡)))
181subidd 11589 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
1918fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜0))
2019adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜0))
21 abs0 15264 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜0) = 0)
2317, 20, 223eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) = 0)
2423adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) = 0)
25 rpgt0 13018 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑦)
2625ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 0 < 𝑦)
2724, 26eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)
2827a1d 25 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
2928ralrimiva 3136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
30 brimralrspcev 5204 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 1) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
313, 29, 30syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
3231ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
331adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3433, 11fmptd 7119 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
35 constlimc.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
36 constlimc.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3734, 35, 36ellimc3 25826 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((𝑣 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘£) βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))))
381, 32, 37mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  β¦‹csb 3884   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„+crp 13006  abscabs 15213   limβ„‚ climc 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cnp 23150  df-xms 24244  df-ms 24245  df-limc 25813
This theorem is referenced by:  reclimc  45104  fourierdlem53  45610  fourierdlem60  45617  fourierdlem61  45618  fourierdlem73  45630  fourierdlem74  45631  fourierdlem75  45632  fourierdlem76  45633  fouriersw  45682
  Copyright terms: Public domain W3C validator