Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constlimc 45150
Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
constlimc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
constlimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
constlimc.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
constlimc (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem constlimc
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constlimc.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 1rp 13013 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
4 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
5 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
6 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐵
7 csbtt 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → 𝑣 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑣 / 𝑥𝐵 = 𝐵
98, 1eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
109adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
11 constlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
1211fvmpts 7007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐴𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑣) = 𝑣 / 𝑥𝐵)
134, 10, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) = 𝑣 / 𝑥𝐵)
1413oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐵) = (𝑣 / 𝑥𝐵𝐵))
158oveq1i 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 / 𝑥𝐵𝐵) = (𝐵𝐵)
1614, 15eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐵) = (𝐵𝐵))
1716fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐵)))
181subidd 11591 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
1918fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
2019adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
21 abs0 15268 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘0) = 0)
2317, 20, 223eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = 0)
2423adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = 0)
25 rpgt0 13021 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
2625ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → 0 < 𝑦)
2724, 26eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)
2827a1d 25 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
2928ralrimiva 3135 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
30 brimralrspcev 5210 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
313, 29, 30syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
3231ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
331adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3433, 11fmptd 7123 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
35 constlimc.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
36 constlimc.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3734, 35, 36ellimc3 25852 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))))
381, 32, 37mpbir2and 711 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2875  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  csb 3889  wss 3944   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   < clt 11280  cmin 11476  +crp 13009  abscabs 15217   lim climc 25835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-rest 17407  df-topn 17408  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cnp 23176  df-xms 24270  df-ms 24271  df-limc 25839
This theorem is referenced by:  reclimc  45179  fourierdlem53  45685  fourierdlem60  45692  fourierdlem61  45693  fourierdlem73  45705  fourierdlem74  45706  fourierdlem75  45707  fourierdlem76  45708  fouriersw  45757
  Copyright terms: Public domain W3C validator