Theorem deg1le0eq0 33872

Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26279. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclb.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1sclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sclb.2	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
deg1sclb.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sclb.5	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0eq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Proof of Theorem deg1le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclb.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1sclb.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		deg1sclb.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)
4		deg1sclb.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		deg1sclb.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1sclb.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	4, 5, 6, 7	deg1le0 26277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0))))
9	8	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
10	1, 2, 3, 9	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = 𝑂)
13	11, 12	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂)
14	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		0nn0 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
17		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 6, 5, 17	coe1fvalcl 22381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
19	2, 15, 18	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 )
22		deg1sclb.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23		deg1sclb.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
24	5, 7, 22, 23, 17	ply1scln0 22461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
25	14, 20, 21, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
26	25	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂))
27	26	necon4d 2982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))
28	27	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
29	13, 28	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
30	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
31		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
32	31	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘ 0 ))
33	5, 7, 22, 23, 1	ply1ascl0 22423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
34	33	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
35	30, 32, 34	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = 𝑂)
36	29, 35	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  0cc0 11104   ≤ cle 11248  ℕ₀cn0 12508  Basecbs 17273  0_gc0g 17496  Ringcrg 20319  algSccascl 22011  Poly₁cpl1 22346  coe₁cco1 22347  deg₁cdg1 26220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-cnfld 21532  df-ascl 22014  df-psr 22068  df-mvr 22069  df-mpl 22070  df-opsr 22072  df-psr1 22349  df-vr1 22350  df-ply1 22351  df-coe1 22352  df-mdeg 26221  df-deg1 26222

This theorem is used by:  ply1unit  33874  m1pmeq  33884  minplyirredlem  34109