Theorem deg1le0eq0 34105

Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26431. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclb.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1sclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sclb.2	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
deg1sclb.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sclb.5	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0eq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Proof of Theorem deg1le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclb.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1sclb.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		deg1sclb.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)
4		deg1sclb.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		deg1sclb.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1sclb.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	4, 5, 6, 7	deg1le0 26429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0))))
9	8	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
10	1, 2, 3, 9	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = 𝑂)
13	11, 12	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂)
14	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		0nn0 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 6, 5, 17	coe1fvalcl 22530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
19	2, 15, 18	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 )
22		deg1sclb.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23		deg1sclb.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
24	5, 7, 22, 23, 17	ply1scln0 22610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
25	14, 20, 21, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂))
27	26	necon4d 2979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))
28	27	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
29	13, 28	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
30	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
31		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
32	31	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘ 0 ))
33	5, 7, 22, 23, 1	ply1ascl0 22572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
35	30, 32, 34	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = 𝑂)
36	29, 35	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  0cc0 11200   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Ringcrg 20459  algSccascl 22160  Poly₁cpl1 22495  coe₁cco1 22496  deg₁cdg1 26372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-cnfld 21679  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mdeg 26373  df-deg1 26374

This theorem is used by:  ply1unit  34107  m1pmeq  34117  minplyirredlem  34342