Theorem deg1le0eq0 33668

Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26100. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclb.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1sclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sclb.2	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
deg1sclb.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sclb.5	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0eq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Proof of Theorem deg1le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclb.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1sclb.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		deg1sclb.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)
4		deg1sclb.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		deg1sclb.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1sclb.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	4, 5, 6, 7	deg1le0 26098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0))))
9	8	biimpa 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
10	1, 2, 3, 9	syl21anc 844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
11	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = 𝑂)
13	11, 12	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂)
14	1	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		0nn0 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
17		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 6, 5, 17	coe1fvalcl 22201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
19	2, 15, 18	sylancl 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 )
22		deg1sclb.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23		deg1sclb.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
24	5, 7, 22, 23, 17	ply1scln0 22281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
25	14, 20, 21, 24	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
26	25	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂))
27	26	necon4d 2960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))
28	27	imp 408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
29	13, 28	syldan 598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
30	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
31		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
32	31	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘ 0 ))
33	5, 7, 22, 23, 1	ply1ascl0 22243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
34	33	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
35	30, 32, 34	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = 𝑂)
36	29, 35	impbida 807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  0cc0 11033   ≤ cle 11175  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Ringcrg 20209  algSccascl 21831  Poly₁cpl1 22166  coe₁cco1 22167  deg₁cdg1 26041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-cnfld 21352  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-mvr 21889  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-mdeg 26042  df-deg1 26043

This theorem is referenced by:  ply1unit  33670  m1pmeq  33680  minplyirredlem  33906