Theorem deg1le0eq0 34172

Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26458. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclb.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1sclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sclb.2	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
deg1sclb.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sclb.5	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0eq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Proof of Theorem deg1le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclb.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1sclb.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		deg1sclb.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)
4		deg1sclb.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		deg1sclb.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1sclb.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	4, 5, 6, 7	deg1le0 26456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0))))
9	8	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
10	1, 2, 3, 9	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = 𝑂)
13	11, 12	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂)
14	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		0nn0 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
17		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 6, 5, 17	coe1fvalcl 22557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
19	2, 15, 18	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 )
22		deg1sclb.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23		deg1sclb.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
24	5, 7, 22, 23, 17	ply1scln0 22637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
25	14, 20, 21, 24	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂))
27	26	necon4d 2983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))
28	27	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
29	13, 28	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
30	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
31		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
32	31	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘ 0 ))
33	5, 7, 22, 23, 1	ply1ascl0 22599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
34	33	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
35	30, 32, 34	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = 𝑂)
36	29, 35	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  0cc0 11224   ≤ cle 11368  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  Ringcrg 20486  algSccascl 22187  Poly₁cpl1 22522  coe₁cco1 22523  deg₁cdg1 26399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-cnfld 21706  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-mdeg 26400  df-deg1 26401

This theorem is used by:  ply1unit  34174  m1pmeq  34184  minplyirredlem  34409