Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1le0eq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1le0eq0 33162
Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26004. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sclb.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1sclb.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1sclb.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
deg1sclb.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1sclb.2 𝑂 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1sclb.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
deg1sclb.5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 0)
Assertion
Ref Expression
deg1le0eq0 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ))
Proof of Theorem deg1le0eq0
StepHypRef Expression
1 deg1sclb.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 deg1sclb.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
3 deg1sclb.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 0)
4 deg1sclb.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
5 deg1sclb.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 deg1sclb.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
84, 5, 6, 7deg1le0 26002 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0))))
98biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ 0) β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
101, 2, 3, 9syl21anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
1110adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
12 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ 𝐹 = 𝑂)
1311, 12eqtr3d 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = 𝑂)
141adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 0nn0 12491 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
16 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜πΉ) = (coe1β€˜πΉ)
17 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1816, 6, 5, 17coe1fvalcl 22086 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
192, 15, 18sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
21 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 )
22 deg1sclb.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
23 deg1sclb.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (0gβ€˜π‘ƒ)
245, 7, 22, 23, 17ply1scln0 22166 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) β‰  𝑂)
2514, 20, 21, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) β‰  𝑂)
2625ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) β‰  𝑂))
2726necon4d 2958 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = 𝑂 β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ))
2827imp 406 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = 𝑂) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 )
2913, 28syldan 590 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 )
3010adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
31 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 )
3231fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 0 ))
335, 7, 22, 23, 1ply1ascl0 22128 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 0 ) = 𝑂)
3433adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 0 ) = 𝑂)
3530, 32, 343eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ 𝐹 = 𝑂)
3629, 35impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  0cc0 11112   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  algSccascl 21747  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052   deg1 cdg1 25942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-cnfld 21241  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mdeg 25943  df-deg1 25944
This theorem is referenced by:  ply1unit  33164  m1pmeq  33165  minplyirredlem  33289
  Copyright terms: Public domain W3C validator