Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1le0eq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1le0eq0 33315
Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26067. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sclb.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1sclb.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1sclb.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
deg1sclb.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1sclb.2 𝑂 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1sclb.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
deg1sclb.5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 0)
Assertion
Ref Expression
deg1le0eq0 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ))
Proof of Theorem deg1le0eq0
StepHypRef Expression
1 deg1sclb.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 deg1sclb.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
3 deg1sclb.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ 0)
4 deg1sclb.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
5 deg1sclb.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 deg1sclb.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 eqid 2725 . . . . . . . 8 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
84, 5, 6, 7deg1le0 26065 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0))))
98biimpa 475 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ 0) β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
101, 2, 3, 9syl21anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
1110adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
12 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ 𝐹 = 𝑂)
1311, 12eqtr3d 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = 𝑂)
141adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 0nn0 12517 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
16 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜πΉ) = (coe1β€˜πΉ)
17 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1816, 6, 5, 17coe1fvalcl 22140 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
192, 15, 18sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
21 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 )
22 deg1sclb.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
23 deg1sclb.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (0gβ€˜π‘ƒ)
245, 7, 22, 23, 17ply1scln0 22220 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) β‰  𝑂)
2514, 20, 21, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) β‰  𝑂)
2625ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜0) β‰  0 β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) β‰  𝑂))
2726necon4d 2954 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = 𝑂 β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ))
2827imp 405 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = 𝑂) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 )
2913, 28syldan 589 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = 𝑂) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 )
3010adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ 𝐹 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)))
31 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 )
3231fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜πΉ)β€˜0)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 0 ))
335, 7, 22, 23, 1ply1ascl0 22182 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 0 ) = 𝑂)
3433adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 0 ) = 𝑂)
3530, 32, 343eqtrd 2769 . 2 ((πœ‘ ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ) β†’ 𝐹 = 𝑂)
3629, 35impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1β€˜πΉ)β€˜0) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  0cc0 11138   ≀ cle 11279  β„•0cn0 12502  Basecbs 17179  0gc0g 17420  Ringcrg 20177  algSccascl 21790  Poly1cpl1 22104  coe1cco1 22105   deg1 cdg1 26005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-cnfld 21284  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mdeg 26006  df-deg1 26007
This theorem is referenced by:  ply1unit  33317  m1pmeq  33318  minplyirredlem  33437
  Copyright terms: Public domain W3C validator