Theorem deg1le0eq0 33810

Description: A polynomial with nonpositive degree is the zero polynomial iff its constant term is zero. Biconditional version of deg1scl 26241. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclb.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1sclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sclb.2	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
deg1sclb.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sclb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sclb.5	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)

Assertion

Ref	Expression
deg1le0eq0	⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Proof of Theorem deg1le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclb.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		deg1sclb.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		deg1sclb.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 0)
4		deg1sclb.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		deg1sclb.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1sclb.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	4, 5, 6, 7	deg1le0 26239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0))))
9	8	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ 0) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
10	1, 2, 3, 9	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → 𝐹 = 𝑂)
13	11, 12	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂)
14	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		0nn0 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
17		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	16, 6, 5, 17	coe1fvalcl 22343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
19	2, 15, 18	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 )
22		deg1sclb.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
23		deg1sclb.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑃)
24	5, 7, 22, 23, 17	ply1scln0 22423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
25	14, 20, 21, 24	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂)
26	25	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘0) ≠ 0 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) ≠ 𝑂))
27	26	necon4d 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂 → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))
28	27	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
29	13, 28	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = 𝑂) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
30	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)))
31		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 )
32	31	fveq2d 6888	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐹)‘0)) = ((algSc‘𝑃)‘ 0 ))
33	5, 7, 22, 23, 1	ply1ascl0 22385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
34	33	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → ((algSc‘𝑃)‘ 0 ) = 𝑂)
35	30, 32, 34	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ) → 𝐹 = 𝑂)
36	29, 35	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝑂 ↔ ((coe1‘𝐹)‘0) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  0cc0 11102   ≤ cle 11246  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17271  0_gc0g 17494  Ringcrg 20317  algSccascl 21973  Poly₁cpl1 22308  coe₁cco1 22309  deg₁cdg1 26182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-cnfld 21494  df-ascl 21976  df-psr 22030  df-mvr 22031  df-mpl 22032  df-opsr 22034  df-psr1 22311  df-vr1 22312  df-ply1 22313  df-coe1 22314  df-mdeg 26183  df-deg1 26184

This theorem is referenced by:  ply1unit  33812  m1pmeq  33822  minplyirredlem  34047