MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem2 21119
Description: Lemma 2 for mp2pm2mp 21123. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mp2pm2mp.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m · = ( ·𝑠𝑃)
mp2pm2mp.e 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y 𝑌 = (var1𝑅)
mp2pm2mp.i 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mp2pm2mplem2.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mp2pm2mplem2.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mp2pm2mplem2
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mplem2.c . 2 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 eqid 2779 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 mp2pm2mplem2.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 simp1 1116 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
5 mp2pm2mplem2.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1ring 20119 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
763ad2ant2 1114 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
8 eqid 2779 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
9 ringcmn 19054 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
11103ad2ant2 1114 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
12113ad2ant1 1113 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
13 nn0ex 11714 . . . 4 0 ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ℕ0 ∈ V)
15 simpl12 1229 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
16 mp2pm2mp.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17 eqid 2779 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 eqid 2779 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19 simpl2 1172 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖𝑁)
20 simpl3 1173 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗𝑁)
21 simp13 1185 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑂𝐿)
22 eqid 2779 . . . . . . . 8 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
23 mp2pm2mp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (Base‘𝑄)
24 mp2pm2mp.q . . . . . . . 8 𝑄 = (Poly1𝐴)
2522, 23, 24, 18coe1fvalcl 20083 . . . . . . 7 ((𝑂𝐿𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
2621, 25sylan 572 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
2716, 17, 18, 19, 20, 26matecld 20739 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
28 simpr 477 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29 mp2pm2mp.y . . . . . 6 𝑌 = (var1𝑅)
30 mp2pm2mp.m . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑃)
31 eqid 2779 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
32 mp2pm2mp.e . . . . . 6 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
3317, 5, 29, 30, 31, 32, 2ply1tmcl 20143 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
3415, 27, 28, 33syl3anc 1351 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
3534fmpttd 6702 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
3616, 24, 23, 5, 30, 32, 29mply1topmatcllem 21115 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g𝑃))
372, 8, 12, 14, 35, 36gsumcl 18789 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
381, 2, 3, 4, 7, 37matbas2d 20736 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3416  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  Fincfn 8306  0cn0 11707  Basecbs 16339   ·𝑠 cvsca 16425  0gc0g 16569   Σg cgsu 16570  .gcmg 18011  CMndccmn 18666  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020  var1cv1 20047  Poly1cpl1 20048  coe1cco1 20049   Mat cmat 20720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-psr 19850  df-mvr 19851  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-psr1 20051  df-vr1 20052  df-ply1 20053  df-coe1 20054  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-mat 20721
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem3  21120
  Copyright terms: Public domain W3C validator