Theorem mp2pm2mplem2 22683

Description: Lemma 2 for mp2pm2mp 22687. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mp2pm2mp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mp2pm2mp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mp2pm2mp.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mp2pm2mp.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mp2pm2mplem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mp2pm2mplem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mp2pm2mplem2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mp2pm2mplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mp2pm2mplem2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		eqid 2727	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mp2pm2mplem2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		simp1 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
5		mp2pm2mplem2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 22140	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant2 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2727	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9		ringcmn 20200	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
11	10	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
12	11	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
13		nn0ex 12494	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ℕ0 ∈ V)
15		simpl12 1247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
16		mp2pm2mp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ 𝑁)
20		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21		simp13 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
22		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
23		mp2pm2mp.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
24		mp2pm2mp.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
25	22, 23, 24, 18	coe1fvalcl 22105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
26	21, 25	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
27	16, 17, 18, 19, 20, 26	matecld 22302	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
28		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29		mp2pm2mp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
30		mp2pm2mp.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
31		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
32		mp2pm2mp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
33	17, 5, 29, 30, 31, 32, 2	ply1tmcl 22165	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
34	15, 27, 28, 33	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
35	34	fmpttd 7119	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
36	16, 24, 23, 5, 30, 32, 29	mply1topmatcllem 22679	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃))
37	2, 8, 12, 14, 35, 36	gsumcl 19854	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
38	1, 2, 3, 4, 7, 37	matbas2d 22299	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8953  ℕ₀cn0 12488  Basecbs 17165   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17406   Σ_g cgsu 17407  ._gcmg 19007  CMndccmn 19719  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  var₁cv1 22069  Poly₁cpl1 22070  coe₁cco1 22071   Mat cmat 22281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076  df-mat 22282

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem3  22684