Theorem mp2pm2mplem2 22300

Description: Lemma 2 for mp2pm2mp 22304. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mp2pm2mp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mp2pm2mp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mp2pm2mp.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mp2pm2mp.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mp2pm2mplem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mp2pm2mplem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mp2pm2mplem2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mp2pm2mplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mp2pm2mplem2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mp2pm2mplem2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
5		mp2pm2mplem2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 21761	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9		ringcmn 20092	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
11	10	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
12	11	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
13		nn0ex 12474	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ℕ0 ∈ V)
15		simpl12 1249	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
16		mp2pm2mp.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ 𝑁)
20		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21		simp13 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
22		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
23		mp2pm2mp.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
24		mp2pm2mp.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
25	22, 23, 24, 18	coe1fvalcl 21727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
26	21, 25	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
27	16, 17, 18, 19, 20, 26	matecld 21919	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
28		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29		mp2pm2mp.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
30		mp2pm2mp.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
31		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
32		mp2pm2mp.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
33	17, 5, 29, 30, 31, 32, 2	ply1tmcl 21785	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
34	15, 27, 28, 33	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
35	34	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
36	16, 24, 23, 5, 30, 32, 29	mply1topmatcllem 22296	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃))
37	2, 8, 12, 14, 35, 36	gsumcl 19777	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
38	1, 2, 3, 4, 7, 37	matbas2d 21916	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8935  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  ._gcmg 18944  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692  coe₁cco1 21693   Mat cmat 21898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mat 21899

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem3  22301