MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem2 22172
Description: Lemma 2 for mp2pm2mp 22176. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mp2pm2mp.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mp2pm2mp.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mp2pm2mp.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mp2pm2mp.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mp2pm2mp.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mplem2.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
mp2pm2mplem2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ถ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mp2pm2mplem2
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mplem2.c . 2 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
2 eqid 2733 . 2 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 mp2pm2mplem2.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 simp1 1137 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5 mp2pm2mplem2.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
65ply1ring 21635 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
763ad2ant2 1135 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
8 eqid 2733 . . 3 (0gโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜๐‘ƒ)
9 ringcmn 20008 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
106, 9syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
11103ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
12113ad2ant1 1134 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
13 nn0ex 12424 . . . 4 โ„•0 โˆˆ V
1413a1i 11 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
15 simpl12 1250 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 mp2pm2mp.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
17 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
18 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
19 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
20 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
21 simp13 1206 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜๐‘‚)
23 mp2pm2mp.l . . . . . . . 8 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
24 mp2pm2mp.q . . . . . . . 8 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
2522, 23, 24, 18coe1fvalcl 21599 . . . . . . 7 ((๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2621, 25sylan 581 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2716, 17, 18, 19, 20, 26matecld 21791 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
28 simpr 486 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
29 mp2pm2mp.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
30 mp2pm2mp.m . . . . . 6 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
31 eqid 2733 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
32 mp2pm2mp.e . . . . . 6 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
3317, 5, 29, 30, 31, 32, 2ply1tmcl 21659 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3415, 27, 28, 33syl3anc 1372 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3534fmpttd 7064 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘ƒ))
3616, 24, 23, 5, 30, 32, 29mply1topmatcllem 22168 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
372, 8, 12, 14, 35, 36gsumcl 19697 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
381, 2, 3, 4, 7, 37matbas2d 21788 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  Fincfn 8886  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088   ยท๐‘  cvsca 17142  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mat 21771
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem3  22173
  Copyright terms: Public domain W3C validator