MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem2 22722
Description: Lemma 2 for mp2pm2mp 22726. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mp2pm2mp.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mp2pm2mp.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mp2pm2mp.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mp2pm2mp.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mp2pm2mp.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mplem2.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
mp2pm2mplem2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ถ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mp2pm2mplem2
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mplem2.c . 2 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
2 eqid 2725 . 2 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 mp2pm2mplem2.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 simp1 1133 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5 mp2pm2mplem2.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
65ply1ring 22170 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
763ad2ant2 1131 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
8 eqid 2725 . . 3 (0gโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜๐‘ƒ)
9 ringcmn 20217 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
106, 9syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
11103ad2ant2 1131 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
12113ad2ant1 1130 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
13 nn0ex 12503 . . . 4 โ„•0 โˆˆ V
1413a1i 11 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
15 simpl12 1246 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 mp2pm2mp.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
17 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
18 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
19 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
20 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
21 simp13 1202 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
22 eqid 2725 . . . . . . . 8 (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜๐‘‚)
23 mp2pm2mp.l . . . . . . . 8 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
24 mp2pm2mp.q . . . . . . . 8 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
2522, 23, 24, 18coe1fvalcl 22135 . . . . . . 7 ((๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2621, 25sylan 578 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2716, 17, 18, 19, 20, 26matecld 22341 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
28 simpr 483 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
29 mp2pm2mp.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
30 mp2pm2mp.m . . . . . 6 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
31 eqid 2725 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
32 mp2pm2mp.e . . . . . 6 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
3317, 5, 29, 30, 31, 32, 2ply1tmcl 22195 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3415, 27, 28, 33syl3anc 1368 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3534fmpttd 7118 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘ƒ))
3616, 24, 23, 5, 30, 32, 29mply1topmatcllem 22718 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
372, 8, 12, 14, 35, 36gsumcl 19869 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
381, 2, 3, 4, 7, 37matbas2d 22338 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โˆˆ cmpo 7415  Fincfn 8957  โ„•0cn0 12497  Basecbs 17174   ยท๐‘  cvsca 17231  0gc0g 17415   ฮฃg cgsu 17416  .gcmg 19022  CMndccmn 19734  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100   Mat cmat 22320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-mat 22321
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem3  22723
  Copyright terms: Public domain W3C validator