MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem2 22300
Description: Lemma 2 for mp2pm2mp 22304. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mp2pm2mp.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mp2pm2mp.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mp2pm2mp.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mp2pm2mp.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mp2pm2mp.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mplem2.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
mp2pm2mplem2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ถ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mp2pm2mplem2
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mplem2.c . 2 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
2 eqid 2732 . 2 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 mp2pm2mplem2.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 simp1 1136 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5 mp2pm2mplem2.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
65ply1ring 21761 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
763ad2ant2 1134 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
8 eqid 2732 . . 3 (0gโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜๐‘ƒ)
9 ringcmn 20092 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
106, 9syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
11103ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
12113ad2ant1 1133 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
13 nn0ex 12474 . . . 4 โ„•0 โˆˆ V
1413a1i 11 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
15 simpl12 1249 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
16 mp2pm2mp.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
17 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
18 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
19 simpl2 1192 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
20 simpl3 1193 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
21 simp13 1205 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
22 eqid 2732 . . . . . . . 8 (coe1โ€˜๐‘‚) = (coe1โ€˜๐‘‚)
23 mp2pm2mp.l . . . . . . . 8 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
24 mp2pm2mp.q . . . . . . . 8 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
2522, 23, 24, 18coe1fvalcl 21727 . . . . . . 7 ((๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2621, 25sylan 580 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2716, 17, 18, 19, 20, 26matecld 21919 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
28 simpr 485 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
29 mp2pm2mp.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
30 mp2pm2mp.m . . . . . 6 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
31 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
32 mp2pm2mp.e . . . . . 6 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
3317, 5, 29, 30, 31, 32, 2ply1tmcl 21785 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3415, 27, 28, 33syl3anc 1371 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
3534fmpttd 7111 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘ƒ))
3616, 24, 23, 5, 30, 32, 29mply1topmatcllem 22296 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
372, 8, 12, 14, 35, 36gsumcl 19777 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
381, 2, 3, 4, 7, 37matbas2d 21916 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  Fincfn 8935  โ„•0cn0 12468  Basecbs 17140   ยท๐‘  cvsca 17197  0gc0g 17381   ฮฃg cgsu 17382  .gcmg 18944  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   Mat cmat 21898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mat 21899
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem3  22301
  Copyright terms: Public domain W3C validator