Theorem deg1mul 26240

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials in a domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
deg1mul.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul.10	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1mul.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2769	. 2 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
4		deg1mul.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul.4	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul.5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7		deg1mul.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		domnring 20791	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		deg1mul.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		deg1mul.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
12	1, 2, 6, 4	deg1nn0cl 26213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
15		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	14, 4, 2, 15	coe1fvalcl 22340	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
17	10, 13, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	1, 2, 6, 4, 18, 14	deg1ldg 26217	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
21	15, 3, 18	domnrrg 20796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
23		deg1mul.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24		deg1mul.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 22, 23, 24	deg1mul2 26239	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   + caddc 11102  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  Ringcrg 20314  RLRegcrlreg 20775  Domncdomn 20776  Poly₁cpl1 22305  coe₁cco1 22306  deg₁cdg1 26179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-nzr 20595  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-cnfld 21491  df-psr 22027  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-psr1 22308  df-ply1 22310  df-coe1 22311  df-mdeg 26180  df-deg1 26181

This theorem is referenced by:  deg1prod  33817  ply1dg3rt0irred  33818  cos9thpiminply  34122  deg1gprod  42796  deg1pow  42797