MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul 26169
Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials in a domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul.1 𝐷 = (deg1𝑅)
deg1mul.2 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul.3 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul.4 · = (.r𝑃)
deg1mul.5 0 = (0g𝑃)
deg1mul.6 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
deg1mul.7 (𝜑𝐹𝐵)
deg1mul.8 (𝜑𝐹0 )
deg1mul.9 (𝜑𝐺𝐵)
deg1mul.10 (𝜑𝐺0 )
Assertion
Ref Expression
deg1mul (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul
StepHypRef Expression
1 deg1mul.1 . 2 𝐷 = (deg1𝑅)
2 deg1mul.2 . 2 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2735 . 2 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
4 deg1mul.3 . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 deg1mul.4 . 2 · = (.r𝑃)
6 deg1mul.5 . 2 0 = (0g𝑃)
7 deg1mul.6 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8 domnring 20724 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 deg1mul.7 . 2 (𝜑𝐹𝐵)
11 deg1mul.8 . 2 (𝜑𝐹0 )
121, 2, 6, 4deg1nn0cl 26142 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
139, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
14 eqid 2735 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
15 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1614, 4, 2, 15coe1fvalcl 22230 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
1710, 13, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
18 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
191, 2, 6, 4, 18, 14deg1ldg 26146 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
209, 10, 11, 19syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
2115, 3, 18domnrrg 20730 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅)) → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
227, 17, 20, 21syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘(𝐷𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
23 deg1mul.9 . 2 (𝜑𝐺𝐵)
24 deg1mul.10 . 2 (𝜑𝐺0 )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 22, 23, 24deg1mul2 26168 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷𝐹) + (𝐷𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431   + caddc 11156  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  RLRegcrlreg 20708  Domncdomn 20709  Poly1cpl1 22194  coe1cco1 22195  deg1cdg1 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33587  deg1gprod  42122  deg1pow  42123
  Copyright terms: Public domain W3C validator