Theorem deg1mul 26048

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials in a domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
deg1mul.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul.10	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1mul.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
4		deg1mul.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul.4	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul.5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7		deg1mul.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		domnring 20624	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		deg1mul.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		deg1mul.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
12	1, 2, 6, 4	deg1nn0cl 26021	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
15		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	14, 4, 2, 15	coe1fvalcl 22126	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
17	10, 13, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	1, 2, 6, 4, 18, 14	deg1ldg 26025	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
21	15, 3, 18	domnrrg 20630	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
23		deg1mul.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24		deg1mul.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 22, 23, 24	deg1mul2 26047	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   + caddc 11016  ℕ₀cn0 12388  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  Ringcrg 20153  RLRegcrlreg 20608  Domncdomn 20609  Poly₁cpl1 22090  coe₁cco1 22091  deg₁cdg1 25987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-cnfld 21294  df-psr 21848  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-psr1 22093  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-mdeg 25988  df-deg1 25989

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33553  cos9thpiminply  33822  deg1gprod  42254  deg1pow  42255