Theorem deg1mul 26488

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials in a domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
deg1mul.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul.10	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1mul.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
4		deg1mul.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul.4	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul.5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7		deg1mul.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		domnring 21010	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		deg1mul.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		deg1mul.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
12	1, 2, 6, 4	deg1nn0cl 26461	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	14, 4, 2, 15	coe1fvalcl 22585	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
17	10, 13, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	1, 2, 6, 4, 18, 14	deg1ldg 26465	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
21	15, 3, 18	domnrrg 21015	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
23		deg1mul.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24		deg1mul.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 22, 23, 24	deg1mul2 26487	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   + caddc 11242  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510  RLRegcrlreg 20994  Domncdomn 20995  Poly₁cpl1 22550  coe₁cco1 22551  deg₁cdg1 26427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-cnfld 21730  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-mdeg 26428  df-deg1 26429

This theorem is used by:  deg1prod  34218  ply1dg3rt0irred  34219  cos9thpiminply  34531  deg1gprod  43456  deg1pow  43457