Theorem deg1mul 26340

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials in a domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
deg1mul.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul.10	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1mul.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
4		deg1mul.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul.4	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul.5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7		deg1mul.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		domnring 20869	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		deg1mul.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		deg1mul.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
12	1, 2, 6, 4	deg1nn0cl 26313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	14, 4, 2, 15	coe1fvalcl 22437	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
17	10, 13, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	1, 2, 6, 4, 18, 14	deg1ldg 26317	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
21	15, 3, 18	domnrrg 20874	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
23		deg1mul.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24		deg1mul.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 22, 23, 24	deg1mul2 26339	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   + caddc 11127  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524  Ringcrg 20372  RLRegcrlreg 20853  Domncdomn 20854  Poly₁cpl1 22402  coe₁cco1 22403  deg₁cdg1 26279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-nzr 20673  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-rlreg 20856  df-domn 20857  df-cnfld 21586  df-psr 22124  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-psr1 22405  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-mdeg 26280  df-deg1 26281

This theorem is used by:  deg1prod  33993  ply1dg3rt0irred  33994  cos9thpiminply  34298  deg1gprod  43006  deg1pow  43007