Theorem deg1mul 26154

Description: Degree of multiplication of two nonzero polynomials in a domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul.5	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mul.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
deg1mul.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mul.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
deg1mul.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mul.10	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Proof of Theorem deg1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1mul.2	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
4		deg1mul.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		deg1mul.4	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		deg1mul.5	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7		deg1mul.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
8		domnring 20707	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		deg1mul.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		deg1mul.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
12	1, 2, 6, 4	deg1nn0cl 26127	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	14, 4, 2, 15	coe1fvalcl 22214	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
17	10, 13, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	1, 2, 6, 4, 18, 14	deg1ldg 26131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
21	15, 3, 18	domnrrg 20713	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (RLReg‘𝑅))
23		deg1mul.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
24		deg1mul.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 22, 23, 24	deg1mul2 26153	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   + caddc 11158  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Ringcrg 20230  RLRegcrlreg 20691  Domncdomn 20692  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33607  deg1gprod  42141  deg1pow  42142