Theorem dvsinexp 43840

Description: The derivative of sin^N . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvsinexp.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dvsinexp	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvsinexp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11066	. . 3 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		sinf 15933	. . . 4 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
5	4	ffvelcdmda 7018	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
6		cosf 15934	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
8	7	ffvelcdmda 7018	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		dvsinexp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	expcld 13966	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	nncnd 12091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		nnm1nn0 12376	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19	9, 18	expcld 13966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcld 11097	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
21		dvsin 25253	. . 3 ⊢ (ℂ D sin) = cos
22	4	feqmptd 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7354	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))))
24	7	feqmptd 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
25	21, 23, 24	3eqtr3a 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
26		dvexp 25224	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
27	10, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
28		oveq1 7345	. 2 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
29		oveq1 7345	. . 3 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))
30	29	oveq2d 7354	. 2 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
31	2, 2, 5, 8, 13, 20, 25, 27, 28, 30	dvmptco 25243	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cpr 4576   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ℂcc 10971  ℝcr 10972  1c1 10974   · cmul 10978   − cmin 11307  ℕcn 12075  ℕ₀cn0 12335  ↑cexp 13884  sincsin 15873  cosccos 15874   D cdv 25134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051  ax-addf 11052  ax-mulf 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-2o 8369  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-ixp 8758  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-fi 9269  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-q 12791  df-rp 12833  df-xneg 12950  df-xadd 12951  df-xmul 12952  df-ico 13187  df-icc 13188  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-seq 13824  df-exp 13885  df-fac 14090  df-bc 14119  df-hash 14147  df-shft 14878  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-ef 15877  df-sin 15879  df-cos 15880  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20696  df-xmet 20697  df-met 20698  df-bl 20699  df-mopn 20700  df-fbas 20701  df-fg 20702  df-cnfld 20705  df-top 22150  df-topon 22167  df-topsp 22189  df-bases 22203  df-cld 22277  df-ntr 22278  df-cls 22279  df-nei 22356  df-lp 22394  df-perf 22395  df-cn 22485  df-cnp 22486  df-haus 22573  df-tx 22820  df-hmeo 23013  df-fil 23104  df-fm 23196  df-flim 23197  df-flf 23198  df-xms 23580  df-ms 23581  df-tms 23582  df-cncf 24148  df-limc 25137  df-dv 25138

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  43883