Theorem dvsinexp 46965

Description: The derivative of sin^N . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvsinexp.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dvsinexp	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvsinexp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11294	. . 3 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		sinf 16293	. . . 4 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
5	4	ffvelcdmda 7084	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
6		cosf 16294	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
8	7	ffvelcdmda 7084	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		dvsinexp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	expcld 14290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	nncnd 12352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		nnm1nn0 12648	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19	9, 18	expcld 14290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcld 11330	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
21		dvsin 26303	. . 3 ⊢ (ℂ D sin) = cos
22	4	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))))
24	7	feqmptd 6953	. . 3 ⊢ (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
25	21, 23, 24	3eqtr3a 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
26		dvexp 26274	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
27	10, 26	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
28		oveq1 7427	. 2 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
29		oveq1 7427	. . 3 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))
30	29	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
31	2, 2, 5, 8, 13, 20, 25, 27, 28, 30	dvmptco 26293	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4585   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  1c1 11202   · cmul 11206   − cmin 11542  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ↑cexp 14205  sincsin 16230  cosccos 16231   D cdv 26184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188

This theorem is used by:  itgsinexplem1  47008