Theorem dvsinexp 41660

Description: The derivative of sin^N . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvsinexp.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dvsinexp	⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvsinexp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 10434	. . 3 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		sinf 15343	. . . 4 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
5	4	ffvelrnda 6682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
6		cosf 15344	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
8	7	ffvelrnda 6682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
9		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10		dvsinexp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 11773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	9, 12	expcld 13331	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	nncnd 11463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		nnm1nn0 11756	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
18	17	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19	9, 18	expcld 13331	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcld 10466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
21		dvsin 24297	. . 3 ⊢ (ℂ D sin) = cos
22	4	feqmptd 6568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
23	22	oveq2d 6998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))))
24	7	feqmptd 6568	. . 3 ⊢ (𝜑 → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
25	21, 23, 24	3eqtr3a 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
26		dvexp 24268	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
27	10, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
28		oveq1 6989	. 2 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
29		oveq1 6989	. . 3 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))
30	29	oveq2d 6998	. 2 ⊢ (𝑦 = (sin‘𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))))
31	2, 2, 5, 8, 13, 20, 25, 27, 28, 30	dvmptco 24287	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (cos‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {cpr 4446   ↦ cmpt 5013  ⟶wf 6189  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  ℂcc 10339  ℝcr 10340  1c1 10342   · cmul 10346   − cmin 10676  ℕcn 11445  ℕ₀cn0 11713  ↑cexp 13250  sincsin 15283  cosccos 15284   D cdv 24179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419  ax-addf 10420  ax-mulf 10421

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-iin 4800  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-fi 8676  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-card 9168  df-cda 9394  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xneg 12330  df-xadd 12331  df-xmul 12332  df-ico 12566  df-icc 12567  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-seq 13191  df-exp 13251  df-fac 13455  df-bc 13484  df-hash 13512  df-shft 14293  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-limsup 14695  df-clim 14712  df-rlim 14713  df-sum 14910  df-ef 15287  df-sin 15289  df-cos 15290  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-ress 16353  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-starv 16442  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-unif 16450  df-hom 16451  df-cco 16452  df-rest 16558  df-topn 16559  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-topgen 16579  df-pt 16580  df-prds 16583  df-xrs 16637  df-qtop 16642  df-imas 16643  df-xps 16645  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-lp 21463  df-perf 21464  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cncf 23204  df-limc 24182  df-dv 24183

This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  41704