Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sclid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sclid 20917
 Description: Recover the base scalar from a scalar polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1scl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1sclid.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1sclid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → 𝑋 = ((coe1‘(𝐴𝑋))‘0))

Proof of Theorem ply1sclid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1scl.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1scl.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3 ply1sclid.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2798 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4coe1scl 20916 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑋)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅))))
65fveq1d 6647 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → ((coe1‘(𝐴𝑋))‘0) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅)))‘0))
7 0nn0 11900 . . . 4 0 ∈ ℕ0
8 iftrue 4431 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅)) = 𝑋)
9 eqid 2798 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅)))
108, 9fvmptg 6743 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝑋𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅)))‘0) = 𝑋)
117, 10mpan 689 . . 3 (𝑋𝐾 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅)))‘0) = 𝑋)
1211adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g𝑅)))‘0) = 𝑋)
136, 12eqtr2d 2834 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → 𝑋 = ((coe1‘(𝐴𝑋))‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  0cc0 10526  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16475  0gc0g 16705  Ringcrg 19290  algSccascl 20541  Poly1cpl1 20806  coe1cco1 20807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812 This theorem is referenced by:  ply1sclf1  20918  cply1coe0bi  20929  m2cpminvid  21358  m2cpminvid2lem  21359  deg1sclle  24713
 Copyright terms: Public domain W3C validator