Theorem ply1sclid 19873

Description: Recover the base scalar from a scalar polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1sclid.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 = ((coe1‘(𝐴‘𝑋))‘0))

Proof of Theorem ply1sclid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		ply1sclid.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1scl 19872	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅))))
6	5	fveq1d 6335	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((coe1‘(𝐴‘𝑋))‘0) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0))
7		0nn0 11514	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		iftrue 4232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)) = 𝑋)
9		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))
10	8, 9	fvmptg 6424	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0) = 𝑋)
11	7, 10	mpan 670	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0) = 𝑋)
12	11	adantl 467	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0) = 𝑋)
13	6, 12	eqtr2d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 = ((coe1‘(𝐴‘𝑋))‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4226   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  0cc0 10142  ℕ₀cn0 11499  Basecbs 16064  0_gc0g 16308  Ringcrg 18755  algSccascl 19526  Poly₁cpl1 19762  coe₁cco1 19763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768

This theorem is referenced by:  ply1sclf1  19874  cply1coe0bi  19885  m2cpminvid  20778  m2cpminvid2lem  20779  deg1sclle  24092