Theorem ply1sclid 22269

Description: Recover the base scalar from a scalar polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1sclid.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 = ((coe1‘(𝐴‘𝑋))‘0))

Proof of Theorem ply1sclid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		ply1sclid.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1scl 22268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (coe1‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅))))
6	5	fveq1d 6840	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((coe1‘(𝐴‘𝑋))‘0) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0))
7		0nn0 12449	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		iftrue 4473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)) = 𝑋)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))
10	8, 9	fvmptg 6943	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0) = 𝑋)
11	7, 10	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0) = 𝑋)
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑋, (0g‘𝑅)))‘0) = 𝑋)
13	6, 12	eqtr2d 2773	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 = ((coe1‘(𝐴‘𝑋))‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6496  0cc0 11035  ℕ₀cn0 12434  Basecbs 17176  0_gc0g 17399  Ringcrg 20211  algSccascl 21848  Poly₁cpl1 22156  coe₁cco1 22157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-ofr 7629  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-hom 17241  df-cco 17242  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-prds 17407  df-pws 17409  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-mulg 19041  df-subg 19096  df-ghm 19185  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-lmod 20854  df-lss 20924  df-ascl 21851  df-psr 21905  df-mvr 21906  df-mpl 21907  df-opsr 21909  df-psr1 22159  df-vr1 22160  df-ply1 22161  df-coe1 22162

This theorem is referenced by:  ply1sclf1  22270  cply1coe0bi  22283  ply1scleq  22286  m2cpminvid  22734  m2cpminvid2lem  22735  deg1sclle  26093  rtelextdg2lem  33892