Theorem drngmxidlr 33456

Description: If a ring's only maximal ideal is the zero ideal, it is a division ring. See also drngmxidl 33455. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmxidlr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmxidlr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmxidlr.u	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
drngmxidlr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
drngmxidlr.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})

Assertion

Ref	Expression
drngmxidlr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngmxidlr

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ 𝑚)
2		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		drngmxidlr.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
5		drngmxidlr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})
6	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑀 = {{ 0 }})
7	4, 6	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {{ 0 }})
8		elsni 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ {{ 0 }} → 𝑚 = { 0 })
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 = { 0 })
10	1, 9	sseqtrd 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ { 0 })
11		drngmxidlr.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		nzrring 20432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15		drngmxidlr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 15	lidl0cl 21137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
17	13, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
18	17	snssd 4776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑖)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → { 0 } ⊆ 𝑖)
20	10, 19	eqssd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 = { 0 })
21	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ≠ 𝐵)
24		drngmxidlr.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
25	24	ssmxidl 33452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
26	21, 22, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
27	20, 26	r19.29a 3142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 = { 0 })
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝐵) → 𝑖 = 𝐵)
29		exmidne 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵))
31	30	orcomd 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝐵 ∨ 𝑖 = 𝐵))
32	27, 28, 31	orim12da 32394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
33		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑖 ∈ V
34	33	elpr 4617	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
35	32, 34	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
37	36	ssrdv 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
38	14, 15	lidl0 21147	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14, 24	lidl1 21150	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41	13, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	39, 41	prssd 4789	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (LIdeal‘𝑅))
43	37, 42	eqssd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵})
44	24, 15, 14	drngidl 33411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
45	11, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
46	43, 45	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  Ringcrg 20149  NzRingcnzr 20428  DivRingcdr 20645  LIdealclidl 21123  MaxIdealcmxidl 33437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-rpss 7702  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-nzr 20429  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-mxidl 33438

This theorem is referenced by:  krullndrng  33459