Theorem drngmxidlr 33507

Description: If a ring's only maximal ideal is the zero ideal, it is a division ring. See also drngmxidl 33506. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmxidlr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmxidlr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmxidlr.u	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
drngmxidlr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
drngmxidlr.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})

Assertion

Ref	Expression
drngmxidlr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngmxidlr

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ 𝑚)
2		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		drngmxidlr.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
5		drngmxidlr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})
6	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑀 = {{ 0 }})
7	4, 6	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {{ 0 }})
8		elsni 4642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ {{ 0 }} → 𝑚 = { 0 })
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 = { 0 })
10	1, 9	sseqtrd 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ { 0 })
11		drngmxidlr.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		nzrring 20517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15		drngmxidlr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 15	lidl0cl 21231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
17	13, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
18	17	snssd 4808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑖)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → { 0 } ⊆ 𝑖)
20	10, 19	eqssd 4000	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 = { 0 })
21	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ≠ 𝐵)
24		drngmxidlr.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
25	24	ssmxidl 33503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
26	21, 22, 23, 25	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
27	20, 26	r19.29a 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 = { 0 })
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝐵) → 𝑖 = 𝐵)
29		exmidne 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵))
31	30	orcomd 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝐵 ∨ 𝑖 = 𝐵))
32	27, 28, 31	orim12da 32478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
33		vex 3483	. . . . . . 7 ⊢ 𝑖 ∈ V
34	33	elpr 4649	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
35	32, 34	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
37	36	ssrdv 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
38	14, 15	lidl0 21241	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14, 24	lidl1 21244	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41	13, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	39, 41	prssd 4821	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (LIdeal‘𝑅))
43	37, 42	eqssd 4000	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵})
44	24, 15, 14	drngidl 33462	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
45	11, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
46	43, 45	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  NzRingcnzr 20513  DivRingcdr 20730  LIdealclidl 21217  MaxIdealcmxidl 33488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-rpss 7744  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-nzr 20514  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-mxidl 33489

This theorem is referenced by:  krullndrng  33510