Theorem drngmxidlr 33568

Description: If a ring's only maximal ideal is the zero ideal, it is a division ring. See also drngmxidl 33567. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmxidlr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmxidlr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmxidlr.u	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
drngmxidlr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
drngmxidlr.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})

Assertion

Ref	Expression
drngmxidlr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngmxidlr

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ 𝑚)
2		simplr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		drngmxidlr.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
5		drngmxidlr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})
6	5	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑀 = {{ 0 }})
7	4, 6	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {{ 0 }})
8		elsni 4579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ {{ 0 }} → 𝑚 = { 0 })
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 = { 0 })
10	1, 9	sseqtrd 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ { 0 })
11		drngmxidlr.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		nzrring 20495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15		drngmxidlr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 15	lidl0cl 21220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
17	13, 16	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
18	17	snssd 4725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑖)
19	18	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → { 0 } ⊆ 𝑖)
20	10, 19	eqssd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 = { 0 })
21	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ≠ 𝐵)
24		drngmxidlr.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
25	24	ssmxidl 33564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
26	21, 22, 23, 25	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
27	20, 26	r19.29a 3148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 = { 0 })
28		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝐵) → 𝑖 = 𝐵)
29		exmidne 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵))
31	30	orcomd 877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝐵 ∨ 𝑖 = 𝐵))
32	27, 28, 31	orim12da 32552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
33		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑖 ∈ V
34	33	elpr 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
35	32, 34	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
36	35	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
37	36	ssrdv 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
38	14, 15	lidl0 21230	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14, 24	lidl1 21233	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41	13, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	39, 41	prssd 4760	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (LIdeal‘𝑅))
43	37, 42	eqssd 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵})
44	24, 15, 14	drngidl 33523	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
45	11, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
46	43, 45	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212  NzRingcnzr 20491  DivRingcdr 20708  LIdealclidl 21206  MaxIdealcmxidl 33549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-rpss 7673  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-mxidl 33550

This theorem is referenced by:  krullndrng  33571