Theorem drngmxidlr 33443

Description: If a ring's only maximal ideal is the zero ideal, it is a division ring. See also drngmxidl 33442. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmxidlr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmxidlr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmxidlr.u	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
drngmxidlr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
drngmxidlr.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})

Assertion

Ref	Expression
drngmxidlr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngmxidlr

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ 𝑚)
2		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		drngmxidlr.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
5		drngmxidlr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})
6	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑀 = {{ 0 }})
7	4, 6	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {{ 0 }})
8		elsni 4590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ {{ 0 }} → 𝑚 = { 0 })
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 = { 0 })
10	1, 9	sseqtrd 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ { 0 })
11		drngmxidlr.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		nzrring 20431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15		drngmxidlr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 15	lidl0cl 21157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
17	13, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
18	17	snssd 4758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑖)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → { 0 } ⊆ 𝑖)
20	10, 19	eqssd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 = { 0 })
21	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ≠ 𝐵)
24		drngmxidlr.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
25	24	ssmxidl 33439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
26	21, 22, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
27	20, 26	r19.29a 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 = { 0 })
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝐵) → 𝑖 = 𝐵)
29		exmidne 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵))
31	30	orcomd 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝐵 ∨ 𝑖 = 𝐵))
32	27, 28, 31	orim12da 32437	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
33		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑖 ∈ V
34	33	elpr 4598	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
35	32, 34	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
37	36	ssrdv 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
38	14, 15	lidl0 21167	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14, 24	lidl1 21170	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41	13, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	39, 41	prssd 4771	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (LIdeal‘𝑅))
43	37, 42	eqssd 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵})
44	24, 15, 14	drngidl 33398	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
45	11, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
46	43, 45	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  {csn 4573  {cpr 4575  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Ringcrg 20151  NzRingcnzr 20427  DivRingcdr 20644  LIdealclidl 21143  MaxIdealcmxidl 33424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-nzr 20428  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-mxidl 33425

This theorem is referenced by:  krullndrng  33446