Theorem drngmxidlr 33486

Description: If a ring's only maximal ideal is the zero ideal, it is a division ring. See also drngmxidl 33485. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmxidlr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmxidlr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmxidlr.u	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
drngmxidlr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
drngmxidlr.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})

Assertion

Ref	Expression
drngmxidlr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngmxidlr

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ 𝑚)
2		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		drngmxidlr.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ 𝑀)
5		drngmxidlr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = {{ 0 }})
6	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑀 = {{ 0 }})
7	4, 6	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {{ 0 }})
8		elsni 4648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ {{ 0 }} → 𝑚 = { 0 })
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑚 = { 0 })
10	1, 9	sseqtrd 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 ⊆ { 0 })
11		drngmxidlr.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		nzrring 20533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15		drngmxidlr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 15	lidl0cl 21248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
17	13, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑖)
18	17	snssd 4814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑖)
19	18	ad5ant12 756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → { 0 } ⊆ 𝑖)
20	10, 19	eqssd 4013	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ⊆ 𝑚) → 𝑖 = { 0 })
21	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 ≠ 𝐵)
24		drngmxidlr.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
25	24	ssmxidl 33482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
26	21, 22, 23, 25	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑚)
27	20, 26	r19.29a 3160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ≠ 𝐵) → 𝑖 = { 0 })
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝐵) → 𝑖 = 𝐵)
29		exmidne 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵)
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = 𝐵 ∨ 𝑖 ≠ 𝐵))
31	30	orcomd 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝐵 ∨ 𝑖 = 𝐵))
32	27, 28, 31	orim12da 32487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
33		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑖 ∈ V
34	33	elpr 4655	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑖 = { 0 } ∨ 𝑖 = 𝐵))
35	32, 34	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
37	36	ssrdv 4001	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
38	14, 15	lidl0 21258	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14, 24	lidl1 21261	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41	13, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	39, 41	prssd 4827	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (LIdeal‘𝑅))
43	37, 42	eqssd 4013	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵})
44	24, 15, 14	drngidl 33441	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
45	11, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, 𝐵}))
46	43, 45	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529  DivRingcdr 20746  LIdealclidl 21234  MaxIdealcmxidl 33467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-mxidl 33468

This theorem is referenced by:  krullndrng  33489