Theorem cjnpoly 46890

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 26990. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11149	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1547	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23	20, 22	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
24		fnfvof 7670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	8, 12, 24	mpanl12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	1, 25	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
27	6	fveq1i 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
28		fvres 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29	27, 28	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
30		fvi 6937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
32	31	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	26, 32	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
34	33	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35	23, 34	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
36		1red 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
37		cjmulrcl 15110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
38		0lt1 11700	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
40		cjmulge0 15112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
41	36, 37, 39, 40	addgtge0d 11752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
42	41	gt0ne0d 11742	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
43	35, 42	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
44	43	neneqd 2930	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
45	44	nrex 3057	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
46		ssid 3969	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
47		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		plyconst 26111	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
49	46, 47, 48	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
50		plyid 26114	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
51	46, 47, 50	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
52		plymulcl 26126	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53	51, 52	mpan 690	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
54		plyaddcl 26125	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55	49, 53, 54	sylancr 587	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
56		dgrcl 26138	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
57		nn0p1nn 12481	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
58		nn0cn 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
59		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	addcomd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
61	60	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
62	57, 61	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
63	56, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
64		1re 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		cjre 15105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
67		ax-1ne0 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
68	66, 67	eqnetri 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
69		ne0p 26112	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
70	47, 68, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
71	6	fveq1i 6859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
72		fvres 6877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
73	47, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
74	71, 73	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = ( I ‘1)
75		fvi 6937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
76	2, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
77	74, 76	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
78	77, 67	eqnetri 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
79		ne0p 26112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
80	47, 78, 79	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
81	51, 80	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝)
82		dgrid 26170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘Xp) = 1
83	82	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
84		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
85	83, 84	dgrmul 26176	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
86	81, 85	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
87	70, 86	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
88	87	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
89	63, 88	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
90	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
91	89	nngt0d 12235	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92		0dgr 26150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
93	47, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
94	93	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
95		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
96	94, 95	dgradd2 26174	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
97	90, 53, 91, 96	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
98	97	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ ↔ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ))
99	98	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ))
100	89, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
101		fta 26990	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
102	55, 100, 101	syl2anc 584	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
103	45, 102	mto 197	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   I cid 5532   × cxp 5636   ↾ cres 5640   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ∗ccj 15062  0_𝑝c0p 25570  Polycply 26089  X_pcidp 26090  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768  df-ply 26093  df-idp 26094  df-coe 26095  df-dgr 26096  df-log 26465  df-cxp 26466

This theorem is referenced by: (None)