Theorem cjnpoly 48144

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27437. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11308	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5717	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6704	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7730	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23		fnfvof 7734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
24	8, 12, 23	mpanl12 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	1, 24	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	6	fveq1i 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
27		fvres 6927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
28	26, 27	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29		fvi 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
30	28, 29	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
31	30	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
32	25, 31	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	32	oveq2d 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
34	20, 22, 33	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35		1red 11336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
36		cjmulrcl 15340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
37		0lt1 11865	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
39		cjmulge0 15342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
40	35, 36, 38, 39	addgtge0d 11917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
41	40	gt0ne0d 11907	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
42	34, 41	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
43	42	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
44	43	nrex 3094	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
45		ssid 3935	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
46		ax-1cn 11285	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		plyconst 26554	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
49		plyid 26557	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
50	45, 46, 49	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
51		plymulcl 26570	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
52	50, 51	mpan 703	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53		plyaddcl 26569	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
54	48, 52, 53	sylancr 599	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55		1re 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		cjre 15335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘1) = 1
58		ax-1ne0 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
59	57, 58	eqnetri 3029	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
60		ne0p 26555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
61	46, 59, 60	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
62	6	fveq1i 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
63		fvres 6927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
64	46, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
65		fvi 6984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
66	2, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
67	62, 64, 66	3eqtri 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
68	67, 58	eqnetri 3029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
69		ne0p 26555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
70	46, 68, 69	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
71		dgrid 26613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘Xp) = 1
72	71	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
73		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
74	72, 73	dgrmul 26619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
75	50, 70, 74	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
76	61, 75	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
77		dgrcl 26582	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
79		1cnd 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
80	78, 79	addcomd 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
81		nn0p1nn 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
82	80, 81	eqeltrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
83	77, 82	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
84	76, 83	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
85	84	nngt0d 12414	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
86		0dgr 26594	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
87	46, 86	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
88	87	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
89		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
90	88, 89	dgradd2 26617	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
91	48, 52, 85, 90	mp3an2i 1496	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92	91, 84	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
93		fta 27437	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
94	54, 92, 93	syl2anc 596	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
95	44, 94	mto 200	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5106   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ∗ccj 15292  0_𝑝c0p 26020  Polycply 26532  X_pcidp 26533  degcdgr 26535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-cmp 23735  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-0p 26021  df-limc 26216  df-dv 26217  df-ply 26536  df-idp 26537  df-coe 26538  df-dgr 26539  df-log 26914  df-cxp 26915

This theorem is used by: (None)