Theorem cjnpoly 47861

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27370. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11252	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5709	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7689	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23		fnfvof 7693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
24	8, 12, 23	mpanl12 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	1, 24	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	6	fveq1i 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
27		fvres 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
28	26, 27	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29		fvi 6949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
30	28, 29	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
31	30	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
32	25, 31	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	32	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
34	20, 22, 33	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35		1red 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
36		cjmulrcl 15278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
37		0lt1 11807	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
39		cjmulge0 15280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
40	35, 36, 38, 39	addgtge0d 11859	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
41	40	gt0ne0d 11849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
42	34, 41	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
43	42	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
44	43	nrex 3090	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
45		ssid 3952	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
46		ax-1cn 11229	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		plyconst 26485	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
49		plyid 26488	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
50	45, 46, 49	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
51		plymulcl 26501	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
52	50, 51	mpan 703	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53		plyaddcl 26500	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
54	48, 52, 53	sylancr 599	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55		1re 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		cjre 15273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘1) = 1
58		ax-1ne0 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
59	57, 58	eqnetri 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
60		ne0p 26486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
61	46, 59, 60	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
62	6	fveq1i 6874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
63		fvres 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
64	46, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
65		fvi 6949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
66	2, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
67	62, 64, 66	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
68	67, 58	eqnetri 3025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
69		ne0p 26486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
70	46, 68, 69	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
71		dgrid 26544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘Xp) = 1
72	71	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
73		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
74	72, 73	dgrmul 26550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
75	50, 70, 74	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
76	61, 75	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
77		dgrcl 26513	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
79		1cnd 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
80	78, 79	addcomd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
81		nn0p1nn 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
82	80, 81	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
83	77, 82	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
84	76, 83	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
85	84	nngt0d 12356	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
86		0dgr 26525	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
87	46, 86	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
88	87	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
89		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
90	88, 89	dgradd2 26548	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
91	48, 52, 85, 90	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92	91, 84	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
93		fta 27370	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
94	54, 92, 93	syl2anc 596	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
95	44, 94	mto 200	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583   class class class wbr 5102   I cid 5541   × cxp 5645   ↾ cres 5649   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7674  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   · cmul 11176   < clt 11314  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  ∗ccj 15230  0_𝑝c0p 25951  Polycply 26463  X_pcidp 26464  degcdgr 26466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-ef 16200  df-sin 16202  df-cos 16203  df-pi 16205  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-cmp 23666  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cncf 25160  df-0p 25952  df-limc 26147  df-dv 26148  df-ply 26467  df-idp 26468  df-coe 26469  df-dgr 26470  df-log 26847  df-cxp 26848

This theorem is used by: (None)