Theorem cjnpoly 47325

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27031. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6630	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1549	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23	20, 22	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
24		fnfvof 7637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	8, 12, 24	mpanl12 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	1, 25	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
27	6	fveq1i 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
28		fvres 6848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29	27, 28	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
30		fvi 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
32	31	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	26, 32	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
34	33	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35	23, 34	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
36		1red 11134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
37		cjmulrcl 15095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
38		0lt1 11661	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
40		cjmulge0 15097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
41	36, 37, 39, 40	addgtge0d 11713	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
42	41	gt0ne0d 11703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
43	35, 42	eqnetrd 2997	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
44	43	neneqd 2935	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
45	44	nrex 3063	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
46		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
47		ax-1cn 11085	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		plyconst 26159	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
49	46, 47, 48	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
50		plyid 26162	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
51	46, 47, 50	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
52		plymulcl 26174	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53	51, 52	mpan 691	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
54		plyaddcl 26173	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55	49, 53, 54	sylancr 588	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
56		dgrcl 26186	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
57		nn0p1nn 12465	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
58		nn0cn 12436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
59		1cnd 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	addcomd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
61	60	eleq1d 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
62	57, 61	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
63	56, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
64		1re 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		cjre 15090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
67		ax-1ne0 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
68	66, 67	eqnetri 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
69		ne0p 26160	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
70	47, 68, 69	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
71	6	fveq1i 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
72		fvres 6848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
73	47, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
74	71, 73	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = ( I ‘1)
75		fvi 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
76	2, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
77	74, 76	eqtri 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
78	77, 67	eqnetri 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
79		ne0p 26160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
80	47, 78, 79	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
81	51, 80	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝)
82		dgrid 26217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘Xp) = 1
83	82	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
84		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
85	83, 84	dgrmul 26223	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
86	81, 85	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
87	70, 86	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
88	87	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
89	63, 88	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
90	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
91	89	nngt0d 12215	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92		0dgr 26198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
93	47, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
94	93	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
95		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
96	94, 95	dgradd2 26221	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
97	90, 53, 91, 96	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
98	97	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ ↔ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ))
99	98	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ))
100	89, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
101		fta 27031	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
102	55, 100, 101	syl2anc 585	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
103	45, 102	mto 197	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∃wrex 3059  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885  {csn 4557   class class class wbr 5074   I cid 5514   × cxp 5618   ↾ cres 5622   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11168  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ∗ccj 15047  0_𝑝c0p 25624  Polycply 26137  X_pcidp 26138  degcdgr 26140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-cmp 23340  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cncf 24833  df-0p 25625  df-limc 25821  df-dv 25822  df-ply 26141  df-idp 26142  df-coe 26143  df-dgr 26144  df-log 26508  df-cxp 26509

This theorem is referenced by: (None)