Theorem cjnpoly 46874

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27006. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11109	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6629	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1547	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23	20, 22	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
24		fnfvof 7634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	8, 12, 24	mpanl12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	1, 25	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
27	6	fveq1i 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
28		fvres 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29	27, 28	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
30		fvi 6903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
32	31	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	26, 32	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
34	33	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35	23, 34	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
36		1red 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
37		cjmulrcl 15069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
38		0lt1 11660	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
40		cjmulge0 15071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
41	36, 37, 39, 40	addgtge0d 11712	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
42	41	gt0ne0d 11702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
43	35, 42	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
44	43	neneqd 2930	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
45	44	nrex 3057	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
46		ssid 3960	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
47		ax-1cn 11086	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		plyconst 26127	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
49	46, 47, 48	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
50		plyid 26130	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
51	46, 47, 50	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
52		plymulcl 26142	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53	51, 52	mpan 690	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
54		plyaddcl 26141	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55	49, 53, 54	sylancr 587	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
56		dgrcl 26154	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
57		nn0p1nn 12441	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
58		nn0cn 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
59		1cnd 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	addcomd 11336	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
61	60	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
62	57, 61	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
63	56, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
64		1re 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		cjre 15064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
67		ax-1ne0 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
68	66, 67	eqnetri 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
69		ne0p 26128	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
70	47, 68, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
71	6	fveq1i 6827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
72		fvres 6845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
73	47, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
74	71, 73	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = ( I ‘1)
75		fvi 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
76	2, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
77	74, 76	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
78	77, 67	eqnetri 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
79		ne0p 26128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
80	47, 78, 79	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
81	51, 80	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝)
82		dgrid 26186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘Xp) = 1
83	82	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
84		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
85	83, 84	dgrmul 26192	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
86	81, 85	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
87	70, 86	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
88	87	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
89	63, 88	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
90	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
91	89	nngt0d 12195	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92		0dgr 26166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
93	47, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
94	93	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
95		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
96	94, 95	dgradd2 26190	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
97	90, 53, 91, 96	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
98	97	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ ↔ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ))
99	98	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ))
100	89, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
101		fta 27006	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
102	55, 100, 101	syl2anc 584	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
103	45, 102	mto 197	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   I cid 5517   × cxp 5621   ↾ cres 5625   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ∗ccj 15021  0_𝑝c0p 25586  Polycply 26105  X_pcidp 26106  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784  df-ply 26109  df-idp 26110  df-coe 26111  df-dgr 26112  df-log 26481  df-cxp 26482

This theorem is referenced by: (None)