Theorem cjnpoly 47744

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27314. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11208	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5721	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7694	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7698	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23		fnfvof 7698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
24	8, 12, 23	mpanl12 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	1, 24	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	6	fveq1i 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
27		fvres 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
28	26, 27	eqtrid 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29		fvi 6958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
30	28, 29	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
31	30	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
32	25, 31	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	32	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
34	20, 22, 33	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35		1red 11236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
36		cjmulrcl 15233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
37		0lt1 11763	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
39		cjmulge0 15235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
40	35, 36, 38, 39	addgtge0d 11815	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
41	40	gt0ne0d 11805	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
42	34, 41	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
43	42	neneqd 2962	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
44	43	nrex 3092	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
45		ssid 3956	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
46		ax-1cn 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		plyconst 26433	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
49		plyid 26436	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
50	45, 46, 49	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
51		plymulcl 26448	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
52	50, 51	mpan 703	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53		plyaddcl 26447	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
54	48, 52, 53	sylancr 599	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55		1re 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		cjre 15228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘1) = 1
58		ax-1ne0 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
59	57, 58	eqnetri 3027	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
60		ne0p 26434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
61	46, 59, 60	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
62	6	fveq1i 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
63		fvres 6901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
64	46, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
65		fvi 6958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
66	2, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
67	62, 64, 66	3eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
68	67, 58	eqnetri 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
69		ne0p 26434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
70	46, 68, 69	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
71		dgrid 26491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘Xp) = 1
72	71	eqcomi 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
73		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
74	72, 73	dgrmul 26497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
75	50, 70, 74	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
76	61, 75	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
77		dgrcl 26460	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
79		1cnd 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
80	78, 79	addcomd 11439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
81		nn0p1nn 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
82	80, 81	eqeltrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
83	77, 82	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
84	76, 83	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
85	84	nngt0d 12312	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
86		0dgr 26472	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
87	46, 86	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
88	87	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
89		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
90	88, 89	dgradd2 26495	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
91	48, 52, 85, 90	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92	91, 84	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
93		fta 27314	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
94	54, 92, 93	syl2anc 596	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
95	44, 94	mto 200	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   I cid 5553   × cxp 5657   ↾ cres 5661   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ∗ccj 15185  0_𝑝c0p 25898  Polycply 26411  X_pcidp 26412  degcdgr 26414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-0p 25899  df-limc 26095  df-dv 26096  df-ply 26415  df-idp 26416  df-coe 26417  df-dgr 26418  df-log 26791  df-cxp 26792

This theorem is used by: (None)