Theorem cjnpoly 47982

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27407. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11281	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5712	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6682	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7706	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1576	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23		fnfvof 7710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
24	8, 12, 23	mpanl12 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	1, 24	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	6	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
27		fvres 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
28	26, 27	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29		fvi 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
30	28, 29	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
31	30	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
32	25, 31	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	32	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
34	20, 22, 33	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35		1red 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
36		cjmulrcl 15311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
37		0lt1 11838	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
39		cjmulge0 15313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
40	35, 36, 38, 39	addgtge0d 11890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
41	40	gt0ne0d 11880	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
42	34, 41	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
43	42	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
44	43	nrex 3090	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
45		ssid 3930	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
46		ax-1cn 11258	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		plyconst 26524	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
49		plyid 26527	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
50	45, 46, 49	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
51		plymulcl 26540	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
52	50, 51	mpan 703	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53		plyaddcl 26539	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
54	48, 52, 53	sylancr 599	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55		1re 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		cjre 15306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘1) = 1
58		ax-1ne0 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
59	57, 58	eqnetri 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
60		ne0p 26525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
61	46, 59, 60	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
62	6	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
63		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
64	46, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
65		fvi 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
66	2, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
67	62, 64, 66	3eqtri 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
68	67, 58	eqnetri 3025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
69		ne0p 26525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
70	46, 68, 69	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
71		dgrid 26583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘Xp) = 1
72	71	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
73		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
74	72, 73	dgrmul 26589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
75	50, 70, 74	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
76	61, 75	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
77		dgrcl 26552	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
79		1cnd 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
80	78, 79	addcomd 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
81		nn0p1nn 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
82	80, 81	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
83	77, 82	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
84	76, 83	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
85	84	nngt0d 12387	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
86		0dgr 26564	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
87	46, 86	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
88	87	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
89		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
90	88, 89	dgradd2 26587	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
91	48, 52, 85, 90	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92	91, 84	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
93		fta 27407	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
94	54, 92, 93	syl2anc 596	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
95	44, 94	mto 200	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583   class class class wbr 5102   I cid 5544   × cxp 5648   ↾ cres 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ∗ccj 15263  0_𝑝c0p 25990  Polycply 26502  X_pcidp 26503  degcdgr 26505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-0p 25991  df-limc 26186  df-dv 26187  df-ply 26506  df-idp 26507  df-coe 26508  df-dgr 26509  df-log 26884  df-cxp 26885

This theorem is used by: (None)