Theorem cjnpoly 47171

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27050. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11111	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6636	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1549	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23	20, 22	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
24		fnfvof 7641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	8, 12, 24	mpanl12 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	1, 25	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
27	6	fveq1i 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
28		fvres 6854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29	27, 28	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
30		fvi 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
32	31	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	26, 32	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
34	33	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35	23, 34	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
36		1red 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
37		cjmulrcl 15071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
38		0lt1 11663	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
40		cjmulge0 15073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
41	36, 37, 39, 40	addgtge0d 11715	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
42	41	gt0ne0d 11705	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
43	35, 42	eqnetrd 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
44	43	neneqd 2938	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
45	44	nrex 3065	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
46		ssid 3957	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
47		ax-1cn 11088	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		plyconst 26171	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
49	46, 47, 48	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
50		plyid 26174	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
51	46, 47, 50	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
52		plymulcl 26186	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53	51, 52	mpan 691	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
54		plyaddcl 26185	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55	49, 53, 54	sylancr 588	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
56		dgrcl 26198	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
57		nn0p1nn 12444	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
58		nn0cn 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
59		1cnd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	addcomd 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
61	60	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
62	57, 61	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
63	56, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
64		1re 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		cjre 15066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
67		ax-1ne0 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
68	66, 67	eqnetri 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
69		ne0p 26172	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
70	47, 68, 69	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
71	6	fveq1i 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
72		fvres 6854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
73	47, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
74	71, 73	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = ( I ‘1)
75		fvi 6911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
76	2, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
77	74, 76	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
78	77, 67	eqnetri 3003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
79		ne0p 26172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
80	47, 78, 79	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
81	51, 80	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝)
82		dgrid 26230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘Xp) = 1
83	82	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
84		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
85	83, 84	dgrmul 26236	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
86	81, 85	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
87	70, 86	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
88	87	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
89	63, 88	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
90	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
91	89	nngt0d 12198	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92		0dgr 26210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
93	47, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
94	93	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
95		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
96	94, 95	dgradd2 26234	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
97	90, 53, 91, 96	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
98	97	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ ↔ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ))
99	98	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ))
100	89, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
101		fta 27050	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
102	55, 100, 101	syl2anc 585	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
103	45, 102	mto 197	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099   I cid 5519   × cxp 5623   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ∗ccj 15023  0_𝑝c0p 25630  Polycply 26149  X_pcidp 26150  degcdgr 26152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-0p 25631  df-limc 25827  df-dv 25828  df-ply 26153  df-idp 26154  df-coe 26155  df-dgr 26156  df-log 26525  df-cxp 26526

This theorem is referenced by: (None)