Theorem cjnpoly 47323

Description: Complex conjugation operator is not a polynomial with complex coefficients. Indeed; if it was, then multiplying 𝑥 conjugate by 𝑥 itself and adding 1 would yield a nowhere-zero non-constant polynomial, contrary to the fta 27030. (Contributed by Ender Ting, 8-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cjnpoly	⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Proof of Theorem cjnpoly

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
2		1ex 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
3		fconstmpt 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
4	2, 3	fnmpti 6633	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ × {1}) Fn ℂ
5		fnresi 6619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
6		df-idp 26135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
7	6	fneq1i 6587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
8	5, 7	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp Fn ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → Xp Fn ℂ)
10		cjf 15028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		ffn 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∗:ℂ⟶ℂ → ∗ Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ Fn ℂ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∗ Fn ℂ)
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
15		inidm 4168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16	9, 13, 14, 14, 15	offn 7635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ)
17	16	mptru 1549	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ
18		fnfvof 7639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℂ × {1}) Fn ℂ ∧ (Xp ∘f · ∗) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
19	4, 17, 18	mpanl12 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
20	1, 19	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
21	2	fvconst2 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {1})‘𝑥) = 1)
22	21	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1})‘𝑥) + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
23	20, 22	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)))
24		fnfvof 7639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Xp Fn ℂ ∧ ∗ Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
25	8, 12, 24	mpanl12 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
26	1, 25	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)))
27	6	fveq1i 6833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘𝑥) = (( I ↾ ℂ)‘𝑥)
28		fvres 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
29	27, 28	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = ( I ‘𝑥))
30		fvi 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (Xp‘𝑥) = 𝑥)
32	31	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp‘𝑥) · (∗‘𝑥)) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
33	26, 32	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥) = (𝑥 · (∗‘𝑥)))
34	33	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + ((Xp ∘f · ∗)‘𝑥)) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
35	23, 34	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
36		1red 11134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℝ)
37		cjmulrcl 15068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
38		0lt1 11660	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < 1)
40		cjmulge0 15070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
41	36, 37, 39, 40	addgtge0d 11712	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 < (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))))
42	41	gt0ne0d 11702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + (𝑥 · (∗‘𝑥))) ≠ 0)
43	35, 42	eqnetrd 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) ≠ 0)
44	43	neneqd 2938	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ¬ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
45	44	nrex 3066	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0
46		ssid 3945	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
47		ax-1cn 11085	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		plyconst 26152	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
49	46, 47, 48	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
50		plyid 26155	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
51	46, 47, 50	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
52		plymulcl 26167	. . . . 5 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
53	51, 52	mpan 691	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ))
54		plyaddcl 26166	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
55	49, 53, 54	sylancr 588	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ))
56		dgrcl 26179	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘∗) ∈ ℕ0)
57		nn0p1nn 12441	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ)
58		nn0cn 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (deg‘∗) ∈ ℂ)
59		1cnd 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
60	58, 59	addcomd 11336	. . . . . . . 8 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → ((deg‘∗) + 1) = (1 + (deg‘∗)))
61	60	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (((deg‘∗) + 1) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
62	57, 61	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((deg‘∗) ∈ ℕ0 → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
63	56, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ)
64		1re 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		cjre 15063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
67		ax-1ne0 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
68	66, 67	eqnetri 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘1) ≠ 0
69		ne0p 26153	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (∗‘1) ≠ 0) → ∗ ≠ 0𝑝)
70	47, 68, 69	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ≠ 0𝑝
71	6	fveq1i 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Xp‘1) = (( I ↾ ℂ)‘1)
72		fvres 6851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1))
73	47, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( I ↾ ℂ)‘1) = ( I ‘1)
74	71, 73	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Xp‘1) = ( I ‘1)
75		fvi 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → ( I ‘1) = 1)
76	2, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘1) = 1
77	74, 76	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘1) = 1
78	77, 67	eqnetri 3003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Xp‘1) ≠ 0
79		ne0p 26153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (Xp‘1) ≠ 0) → Xp ≠ 0𝑝)
80	47, 78, 79	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp ≠ 0𝑝
81	51, 80	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝)
82		dgrid 26210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘Xp) = 1
83	82	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
84		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘∗) = (deg‘∗)
85	83, 84	dgrmul 26216	. . . . . . . 8 ⊢ (((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ≠ 0𝑝) ∧ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝)) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
86	81, 85	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((∗ ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ∗ ≠ 0𝑝) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
87	70, 86	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (1 + (deg‘∗)))
88	87	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ ↔ (1 + (deg‘∗)) ∈ ℕ))
89	63, 88	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ)
90	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
91	89	nngt0d 12195	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
92		0dgr 26191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {1})) = 0)
93	47, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘(ℂ × {1})) = 0
94	93	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (deg‘(ℂ × {1}))
95		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) = (deg‘(Xp ∘f · ∗))
96	94, 95	dgradd2 26214	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp ∘f · ∗) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 < (deg‘(Xp ∘f · ∗))) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
97	90, 53, 91, 96	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) = (deg‘(Xp ∘f · ∗)))
98	97	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ ↔ (deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ))
99	98	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ((deg‘(Xp ∘f · ∗)) ∈ ℕ → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ))
100	89, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ)
101		fta 27030	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))) ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
102	55, 100, 101	syl2anc 585	. 2 ⊢ (∗ ∈ (Poly‘ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((ℂ × {1}) ∘f + (Xp ∘f · ∗))‘𝑥) = 0)
103	45, 102	mto 197	1 ⊢ ¬ ∗ ∈ (Poly‘ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   I cid 5516   × cxp 5620   ↾ cres 5624   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11167  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ∗ccj 15020  0_𝑝c0p 25614  Polycply 26130  X_pcidp 26131  degcdgr 26133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-sin 15993  df-cos 15994  df-pi 15996  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-cmp 23330  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cncf 24823  df-0p 25615  df-limc 25811  df-dv 25812  df-ply 26134  df-idp 26135  df-coe 26136  df-dgr 26137  df-log 26505  df-cxp 26506

This theorem is referenced by: (None)