Theorem limcmpt2 25934

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
limcmpt2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt2.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
limcmpt2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
2	1	ssdifssd 4157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
3		limcmpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sseldd 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵))
6		limcmpt2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	5, 6	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
9		limcmpt2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 25933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
11		undif1 4482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12	3	snssd 4814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
13		ssequn2 4199	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
14	12, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
15	11, 14	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
16	15	mpteq1d 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
17	15	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
19	17, 18	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = 𝐽)
20	19	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = (𝐽 CnP 𝐾))
21	20	fveq1d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
22	16, 21	eleq12d 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
23	10, 22	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ℂ_fldccnfld 21382   CnP ccnp 23249   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cnp 23252  df-xms 24346  df-ms 24347  df-limc 25916

This theorem is referenced by:  dvcnp  25969