Theorem limcmpt2 25919

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
limcmpt2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt2.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
limcmpt2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
2	1	ssdifssd 4147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
3		limcmpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eldifsn 4786	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵))
6		limcmpt2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	5, 6	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
9		limcmpt2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 25918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
11		undif1 4476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12	3	snssd 4809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
13		ssequn2 4189	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
14	12, 13	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
15	11, 14	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
16	15	mpteq1d 5237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
17	15	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
19	17, 18	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = 𝐽)
20	19	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = (𝐽 CnP 𝐾))
21	20	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
22	16, 21	eleq12d 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
23	10, 22	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364   CnP ccnp 23233   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  dvcnp  25954