Theorem limcmpt2 24597

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
limcmpt2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt2.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
limcmpt2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
2	1	ssdifssd 4050	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
3		limcmpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sseldd 3895	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eldifsn 4680	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵))
6		limcmpt2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	5, 6	sylan2b 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
8		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
9		limcmpt2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 24596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
11		undif1 4375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12	3	snssd 4702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
13		ssequn2 4090	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
14	12, 13	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
15	11, 14	syl5eq 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
16	15	mpteq1d 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
17	15	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
19	17, 18	eqtr4di 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = 𝐽)
20	19	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = (𝐽 CnP 𝐾))
21	20	fveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
22	16, 21	eleq12d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
23	10, 22	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  {csn 4525   ↦ cmpt 5116  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586   ↾_t crest 16766  TopOpenctopn 16767  ℂ_fldccnfld 20180   CnP ccnp 21939   lim_ℂ climc 24575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-rest 16768  df-topn 16769  df-topgen 16789  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cnp 21942  df-xms 23036  df-ms 23037  df-limc 24579

This theorem is referenced by:  dvcnp  24632