Theorem limcmpt 24486

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpt.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcmpt.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
2		limcmpt.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		nfcv 2955	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))
4		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = 𝐵
5		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐶
6		nffvmpt1 6656	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)
7	4, 5, 6	nfif 4454	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
8		eqeq1 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
9		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
10	8, 9	ifbieq2d 4450	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
11	3, 7, 10	cbvmpt 5131	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
12		limcmpt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 6856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
14		limcmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
15		limcmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 2, 11, 13, 14, 15	ellimc 24476	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17		elun 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
18		velsn 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
19	18	orbi2i 910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
20	17, 19	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21		pm5.61 998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
22	21	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
23	20, 22	sylanb 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24	23, 12	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
25		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
26	25	fvmpt2 6756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
27	23, 24, 26	syl2an2 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
28	27	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
29	28	ifeq2da 4456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷))
30	29	mpteq2dva 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
31	30	eleq1d 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
32	16, 31	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091   CnP ccnp 21830   lim_ℂ climc 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-limc 24469

This theorem is referenced by:  limcmpt2  24487  limccnp2  24495  limcco  24496