MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcmpt 24484
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
limcmpt.f ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcmpt.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
limcmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcmpt.j . . 3 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
2 limcmpt.k . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3 nfcv 2982 . . . 4 𝑦if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))
4 nfv 1916 . . . . 5 𝑧 𝑦 = 𝐵
5 nfcv 2982 . . . . 5 𝑧𝐶
6 nffvmpt1 6670 . . . . 5 𝑧((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦)
74, 5, 6nfif 4479 . . . 4 𝑧if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦))
8 eqeq1 2828 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐵𝑦 = 𝐵))
9 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦))
108, 9ifbieq2d 4475 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧)) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦)))
113, 7, 10cbvmpt 5154 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦)))
12 limcmpt.f . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
1312fmpttd 6868 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐷):𝐴⟶ℂ)
14 limcmpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
15 limcmpt.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
161, 2, 11, 13, 14, 15ellimc 24474 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17 elun 4111 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}))
18 velsn 4566 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
1918orbi2i 910 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 = 𝐵))
2017, 19bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 = 𝐵))
21 pm5.61 998 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
2221simplbi 501 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝐴)
2320, 22sylanb 584 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝐴)
2423, 12sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
25 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝐷) = (𝑧𝐴𝐷)
2625fvmpt2 6768 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2723, 24, 26syl2an2 685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2827anassrs 471 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2928ifeq2da 4481 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷))
3029mpteq2dva 5148 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
3130eleq1d 2900 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
3216, 31bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  cun 3917  wss 3919  ifcif 4450  {csn 4550  cmpt 5133  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  t crest 16692  TopOpenctopn 16693  fldccnfld 20540   CnP ccnp 21828   lim climc 24463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-rest 16694  df-topn 16695  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cnp 21831  df-xms 22925  df-ms 22926  df-limc 24467
This theorem is referenced by:  limcmpt2  24485  limccnp2  24493  limcco  24494
  Copyright terms: Public domain W3C validator