Theorem limcmpt 25933

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpt.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcmpt.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
2		limcmpt.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))
4		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = 𝐵
5		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐶
6		nffvmpt1 6918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)
7	4, 5, 6	nfif 4561	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
8		eqeq1 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
9		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
10	8, 9	ifbieq2d 4557	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
11	3, 7, 10	cbvmpt 5259	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
12		limcmpt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
14		limcmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
15		limcmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 2, 11, 13, 14, 15	ellimc 25923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17		elun 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
18		velsn 4647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
19	18	orbi2i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
20	17, 19	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21		pm5.61 1002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
22	21	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
23	20, 22	sylanb 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24	23, 12	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
25		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
26	25	fvmpt2 7027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
27	23, 24, 26	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
28	27	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
29	28	ifeq2da 4563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷))
30	29	mpteq2dva 5248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
31	30	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
32	16, 31	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  ℂ_fldccnfld 21382   CnP ccnp 23249   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cnp 23252  df-xms 24346  df-ms 24347  df-limc 25916

This theorem is referenced by:  limcmpt2  25934  limccnp2  25942  limcco  25943