Theorem limcmpt 25919

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpt.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcmpt.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
2		limcmpt.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		nfcv 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))
4		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = 𝐵
5		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐶
6		nffvmpt1 6916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)
7	4, 5, 6	nfif 4555	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
8		eqeq1 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
9		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
10	8, 9	ifbieq2d 4551	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
11	3, 7, 10	cbvmpt 5252	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
12		limcmpt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
14		limcmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
15		limcmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 2, 11, 13, 14, 15	ellimc 25909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17		elun 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
18		velsn 4641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
19	18	orbi2i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
20	17, 19	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21		pm5.61 1002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
22	21	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
23	20, 22	sylanb 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24	23, 12	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
25		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
26	25	fvmpt2 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
27	23, 24, 26	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
28	27	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
29	28	ifeq2da 4557	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷))
30	29	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
31	30	eleq1d 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
32	16, 31	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21365   CnP ccnp 23234   lim_ℂ climc 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cnp 23237  df-xms 24331  df-ms 24332  df-limc 25902

This theorem is referenced by:  limcmpt2  25920  limccnp2  25928  limcco  25929