MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcmpt 25919
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
limcmpt.f ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcmpt.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
limcmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcmpt.j . . 3 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
2 limcmpt.k . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3 nfcv 2904 . . . 4 𝑦if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))
4 nfv 1913 . . . . 5 𝑧 𝑦 = 𝐵
5 nfcv 2904 . . . . 5 𝑧𝐶
6 nffvmpt1 6916 . . . . 5 𝑧((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦)
74, 5, 6nfif 4555 . . . 4 𝑧if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦))
8 eqeq1 2740 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐵𝑦 = 𝐵))
9 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦))
108, 9ifbieq2d 4551 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧)) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦)))
113, 7, 10cbvmpt 5252 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑦)))
12 limcmpt.f . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
1312fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐷):𝐴⟶ℂ)
14 limcmpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
15 limcmpt.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
161, 2, 11, 13, 14, 15ellimc 25909 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17 elun 4152 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}))
18 velsn 4641 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
1918orbi2i 912 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 = 𝐵))
2017, 19bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 = 𝐵))
21 pm5.61 1002 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
2221simplbi 497 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝐴)
2320, 22sylanb 581 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝐴)
2423, 12sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
25 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝐷) = (𝑧𝐴𝐷)
2625fvmpt2 7026 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2723, 24, 26syl2an2 686 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2827anassrs 467 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2928ifeq2da 4557 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷))
3029mpteq2dva 5241 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
3130eleq1d 2825 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧𝐴𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
3216, 31bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365   CnP ccnp 23234   lim climc 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cnp 23237  df-xms 24331  df-ms 24332  df-limc 25902
This theorem is referenced by:  limcmpt2  25920  limccnp2  25928  limcco  25929
  Copyright terms: Public domain W3C validator