Theorem limcmpt 26079

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpt.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcmpt.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
2		limcmpt.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		nfcv 2928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))
4		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = 𝐵
5		nfcv 2928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝐶
6		nffvmpt1 6899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)
7	4, 5, 6	nfif 4523	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
8		eqeq1 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐵))
9		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦))
10	8, 9	ifbieq2d 4519	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
11	3, 7, 10	cbvmpt 5218	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑦)))
12		limcmpt.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
14		limcmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
15		limcmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 2, 11, 13, 14, 15	ellimc 26069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17		elun 4110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
18		velsn 4610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
19	18	orbi2i 926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
20	17, 19	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵))
21		pm5.61 1016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
22	21	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
23	20, 22	sylanb 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24	23, 12	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
25		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)
26	25	fvmpt2 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
27	23, 24, 26	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
28	27	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
29	28	ifeq2da 4525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷))
30	29	mpteq2dva 5209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
31	30	eleq1d 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
32	16, 31	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   ↾_t crest 17498  TopOpenctopn 17499  ℂ_fldccnfld 21559   CnP ccnp 23419   lim_ℂ climc 26058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cnp 23422  df-xms 24514  df-ms 24515  df-limc 26062

This theorem is used by:  limcmpt2  26080  limccnp2  26088  limcco  26089