MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposb 25033
Description: A function is measurable iff its positive and negative parts are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfposb (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfposb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯0
2 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ ≀
3 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
41, 2, 3nfbr 5157 . . . . . . . 8 β„²π‘₯0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
54, 3, 1nfif 4521 . . . . . . 7 β„²π‘₯if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)
6 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)
7 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
87breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
98, 7ifbieq1d 4515 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
105, 6, 9cbvmpt 5221 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 mbfpos.1 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1413fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1511, 12, 14syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1615breq2d 5122 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ 𝐡))
1716, 15ifbieq1d 4515 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
1817mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
1910, 18eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
2019adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
2112fmpttd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7040 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
24 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)
253, 24, 7cbvmpt 5221 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
2615mpteq2dva 5210 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2725, 26eqtrid 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2827eleq1d 2823 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn))
2928biimpar 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
3023, 29mbfpos 25031 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
3120, 30eqeltrrd 2839 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
323nfneg 11404 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯-((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
331, 2, 32nfbr 5157 . . . . . . . 8 β„²π‘₯0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
3433, 32, 1nfif 4521 . . . . . . 7 β„²π‘₯if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)
35 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)
367negeqd 11402 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) = -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
3736breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
3837, 36ifbieq1d 4515 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
3934, 35, 38cbvmpt 5221 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
4015negeqd 11402 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = -𝐡)
4140breq2d 5122 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ -𝐡))
4241, 40ifbieq1d 4515 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
4342mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4439, 43eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4544adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4623renegcld 11589 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4723, 29mbfneg 25030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
4846, 47mbfpos 25031 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
4945, 48eqeltrrd 2839 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5031, 49jca 513 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn))
5127adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
5221ffvelcdmda 7040 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5352adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5419adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
55 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
5744adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
58 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5957, 58eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
6053, 56, 59mbfposr 25032 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
6151, 60eqeltrrd 2839 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6250, 61impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„cr 11057  0cc0 11058   ≀ cle 11197  -cneg 11393  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  iblre  25174
  Copyright terms: Public domain W3C validator