MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposb 25532
Description: A function is measurable iff its positive and negative parts are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfposb (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfposb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯0
2 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ ≀
3 nffvmpt1 6895 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
41, 2, 3nfbr 5188 . . . . . . . 8 β„²π‘₯0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
54, 3, 1nfif 4553 . . . . . . 7 β„²π‘₯if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)
6 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)
7 fveq2 6884 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
87breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
98, 7ifbieq1d 4547 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
105, 6, 9cbvmpt 5252 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 mbfpos.1 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1413fvmpt2 7002 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1511, 12, 14syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1615breq2d 5153 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ 𝐡))
1716, 15ifbieq1d 4547 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
1817mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
1910, 18eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
2019adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
2112fmpttd 7109 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7079 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
24 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)
253, 24, 7cbvmpt 5252 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
2615mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2725, 26eqtrid 2778 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2827eleq1d 2812 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn))
2928biimpar 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
3023, 29mbfpos 25530 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
3120, 30eqeltrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
323nfneg 11457 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯-((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
331, 2, 32nfbr 5188 . . . . . . . 8 β„²π‘₯0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
3433, 32, 1nfif 4553 . . . . . . 7 β„²π‘₯if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)
35 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)
367negeqd 11455 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) = -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
3736breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
3837, 36ifbieq1d 4547 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
3934, 35, 38cbvmpt 5252 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
4015negeqd 11455 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = -𝐡)
4140breq2d 5153 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ -𝐡))
4241, 40ifbieq1d 4547 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
4342mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4439, 43eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4544adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4623renegcld 11642 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4723, 29mbfneg 25529 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
4846, 47mbfpos 25530 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
4945, 48eqeltrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5031, 49jca 511 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn))
5127adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
5221ffvelcdmda 7079 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5352adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5419adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
55 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
5744adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
58 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5957, 58eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
6053, 56, 59mbfposr 25531 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
6151, 60eqeltrrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6250, 61impbida 798 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„cr 11108  0cc0 11109   ≀ cle 11250  -cneg 11446  MblFncmbf 25493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-xmet 21228  df-met 21229  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498
This theorem is referenced by:  iblre  25673
  Copyright terms: Public domain W3C validator