MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposb 25602
Description: A function is measurable iff its positive and negative parts are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfposb (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfposb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯0
2 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ ≀
3 nffvmpt1 6913 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
41, 2, 3nfbr 5199 . . . . . . . 8 β„²π‘₯0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
54, 3, 1nfif 4562 . . . . . . 7 β„²π‘₯if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)
6 nfcv 2899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)
7 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
87breq2d 5164 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
98, 7ifbieq1d 4556 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
105, 6, 9cbvmpt 5263 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
11 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 mbfpos.1 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1413fvmpt2 7021 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1511, 12, 14syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
1615breq2d 5164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ 𝐡))
1716, 15ifbieq1d 4556 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
1817mpteq2dva 5252 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
1910, 18eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
2019adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
2112fmpttd 7130 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7099 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
24 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)
253, 24, 7cbvmpt 5263 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
2615mpteq2dva 5252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2725, 26eqtrid 2780 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2827eleq1d 2814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn))
2928biimpar 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
3023, 29mbfpos 25600 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
3120, 30eqeltrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
323nfneg 11494 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯-((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
331, 2, 32nfbr 5199 . . . . . . . 8 β„²π‘₯0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
3433, 32, 1nfif 4562 . . . . . . 7 β„²π‘₯if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)
35 nfcv 2899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)
367negeqd 11492 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) = -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
3736breq2d 5164 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ↔ 0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
3837, 36ifbieq1d 4556 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0) = if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
3934, 35, 38cbvmpt 5263 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0))
4015negeqd 11492 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = -𝐡)
4140breq2d 5164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ -𝐡))
4241, 40ifbieq1d 4556 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0) = if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0))
4342mpteq2dva 5252 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4439, 43eqtrid 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4544adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
4623renegcld 11679 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4723, 29mbfneg 25599 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
4846, 47mbfpos 25600 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
4945, 48eqeltrrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5031, 49jca 510 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn))
5127adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
5221ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5352adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5419adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
55 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5654, 55eqeltrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
5744adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)))
58 simprr 771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)
5957, 58eqeltrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), -((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
6053, 56, 59mbfposr 25601 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
6151, 60eqeltrrd 2830 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6250, 61impbida 799 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ -𝐡, -𝐡, 0)) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„cr 11145  0cc0 11146   ≀ cle 11287  -cneg 11483  MblFncmbf 25563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568
This theorem is referenced by:  iblre  25743
  Copyright terms: Public domain W3C validator