Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mplringd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplringd 40907
Description: The polynomial ring is a ring. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplringd.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplringd.i (𝜑𝐼𝑉)
mplringd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mplringd (𝜑𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem mplringd
StepHypRef Expression
1 mplringd.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
2 mplringd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 mplringd.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
43mplring 21503 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
51, 2, 4syl2anc 584 1 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7392  Ringcrg 20013   mPoly cmpl 21387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7652  df-ofr 7653  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-supp 8128  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-er 8685  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9344  df-sup 9418  df-oi 9486  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12454  df-z 12540  df-dec 12659  df-uz 12804  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-seq 13948  df-hash 14272  df-struct 17061  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17368  df-gsum 17369  df-prds 17374  df-pws 17376  df-mre 17511  df-mrc 17512  df-acs 17514  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-mhm 18646  df-submnd 18647  df-grp 18796  df-minusg 18797  df-mulg 18922  df-subg 18974  df-ghm 19055  df-cntz 19146  df-cmn 19613  df-abl 19614  df-mgp 19946  df-ur 19963  df-ring 20015  df-subrg 20307  df-psr 21390  df-mpl 21392
This theorem is referenced by:  rhmmpl  40915
  Copyright terms: Public domain W3C validator