Theorem zlmodzxzlmod 43147

Description: The ℤ-module ℤ × ℤ is a (left) module with the ring of integers as base set. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzlmod	⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))

Proof of Theorem zlmodzxzlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 20217	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		prex 5141	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ V
3		zlmodzxz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
4	3	frlmlmod 20492	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
5	1, 2, 4	mp2an 682	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
6	3	frlmsca 20496	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ V) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
7	1, 2, 6	mp2an 682	. 2 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
8	5, 7	pm3.2i 464	1 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  {cpr 4400  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273  Scalarcsca 16341  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  ℤ_ringzring 20214   freeLMod cfrlm 20489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-dsmm 20475  df-frlm 20490

This theorem is referenced by:  zlmodzxzsubm  43152  zlmodzxzsub  43153  zlmodzxzldeplem3  43306  zlmodzxzldep  43308  ldepsnlinclem1  43309  ldepsnlinclem2  43310  ldepsnlinc  43312