Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzlmod 44621
Description: The -module ℤ × ℤ is a (left) module with the ring of integers as base set. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmodzxz.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzlmod (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))

Proof of Theorem zlmodzxzlmod
StepHypRef Expression
1 zringring 20615 . . 3 ring ∈ Ring
2 prex 5321 . . 3 {0, 1} ∈ V
3 zlmodzxz.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
43frlmlmod 20888 . . 3 ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
51, 2, 4mp2an 691 . 2 𝑍 ∈ LMod
63frlmsca 20892 . . 3 ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ V) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
71, 2, 6mp2an 691 . 2 ring = (Scalar‘𝑍)
85, 7pm3.2i 474 1 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  {cpr 4552  cfv 6344  (class class class)co 7146  0cc0 10531  1c1 10532  Scalarcsca 16566  Ringcrg 19295  LModclmod 19629  ringzring 20612   freeLMod cfrlm 20885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-0g 16713  df-prds 16719  df-pws 16721  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-cmn 18906  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-cnfld 20541  df-zring 20613  df-dsmm 20871  df-frlm 20886
This theorem is referenced by:  zlmodzxzsubm  44626  zlmodzxzsub  44627  zlmodzxzldeplem3  44776  zlmodzxzldep  44778  ldepsnlinclem1  44779  ldepsnlinclem2  44780  ldepsnlinc  44782
  Copyright terms: Public domain W3C validator