Theorem zlmodzxzlmod 48336

Description: The ℤ-module ℤ × ℤ is a (left) module with the ring of integers as base set. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzlmod	⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))

Proof of Theorem zlmodzxzlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21392	. . 3 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		prex 5387	. . 3 ⊢ {0, 1} ∈ V
3		zlmodzxz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
4	3	frlmlmod 21692	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
5	1, 2, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ LMod
6	3	frlmsca 21696	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {0, 1} ∈ V) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
7	1, 2, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
8	5, 7	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {cpr 4587  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11046  1c1 11047  Scalarcsca 17200  Ringcrg 20154  LModclmod 20799  ℤ_ringczring 21389   freeLMod cfrlm 21689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-addf 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-fz 13447  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17381  df-prds 17387  df-pws 17389  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-cring 20157  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-dsmm 21675  df-frlm 21690

This theorem is referenced by:  zlmodzxzsubm  48341  zlmodzxzsub  48342  zlmodzxzldeplem3  48485  zlmodzxzldep  48487  ldepsnlinclem1  48488  ldepsnlinclem2  48489  ldepsnlinc  48491