Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn11pre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn11pre 37098
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 37. TODO: combine cdlemn11a 37095, cdlemn11b 37096, cdlemn11c 37097, cdlemn11pre into one? (Contributed by NM, 27-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn11a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn11a.l = (le‘𝐾)
cdlemn11a.j = (join‘𝐾)
cdlemn11a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn11a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn11a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn11a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.d + = (+g𝑈)
cdlemn11a.s = (LSSum‘𝑈)
cdlemn11a.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn11a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
cdlemn11pre (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → 𝑁 (𝑄 𝑋))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   ,𝑁   𝑃,   𝑄,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   + ()   ()   𝑅()   𝑈()   𝐸()   𝐹()   𝐺()   𝐼()   𝐽()   ()   𝑂()   𝑋()

Proof of Theorem cdlemn11pre
Dummy variables 𝑔 𝑠 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemn11a.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemn11a.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cdlemn11a.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cdlemn11a.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn11a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn11a.p . . 3 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
7 cdlemn11a.o . . 3 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8 cdlemn11a.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemn11a.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn11a.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemn11a.i . . 3 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
12 cdlemn11a.J . . 3 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
13 cdlemn11a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemn11a.d . . 3 + = (+g𝑈)
15 cdlemn11a.s . . 3 = (LSSum‘𝑈)
16 cdlemn11a.f . . 3 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
17 cdlemn11a.g . . 3 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑁)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemn11c 37097 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ∃𝑦 ∈ (𝐽𝑄)∃𝑧 ∈ (𝐼𝑋)⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧))
19 simp1 1166 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simp21 1263 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
212, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16dicelval3 37068 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑦 ∈ (𝐽𝑄) ↔ ∃𝑠𝐸 𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩))
2219, 20, 21syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑦 ∈ (𝐽𝑄) ↔ ∃𝑠𝐸 𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩))
23 simp23 1265 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
241, 2, 5, 8, 9, 7, 11dibelval3 37035 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝑧 ∈ (𝐼𝑋) ↔ ∃𝑔𝑇 (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)))
2519, 23, 24syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑧 ∈ (𝐼𝑋) ↔ ∃𝑔𝑇 (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)))
2622, 25anbi12d 624 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ((𝑦 ∈ (𝐽𝑄) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼𝑋)) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ ∃𝑔𝑇 (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋))))
27 reeanv 3254 . . . . 5 (∃𝑠𝐸𝑔𝑇 (𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ ∃𝑔𝑇 (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)))
28 simpl1 1242 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simpl21 1335 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
30 simpl22 1337 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊))
31 simpl23 1339 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
32 simpr1r 1307 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔𝑇)
33 simpr1l 1305 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑠𝐸)
34 simpr3 1252 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))
351, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 16, 17cdlemn9 37093 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑔𝑄) = 𝑁)
3628, 29, 30, 33, 32, 34, 35syl123anc 1506 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑔𝑄) = 𝑁)
37 simpr2 1250 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑅𝑔) 𝑋)
381, 2, 3, 4, 5, 8, 9cdlemn10 37094 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑔𝑇 ∧ (𝑔𝑄) = 𝑁 ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) → 𝑁 (𝑄 𝑋))
3928, 29, 30, 31, 32, 36, 37, 38syl133anc 1512 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) ∧ ((𝑠𝐸𝑔𝑇) ∧ (𝑅𝑔) 𝑋 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑁 (𝑄 𝑋))
40393exp2 1463 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ((𝑠𝐸𝑔𝑇) → ((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋)))))
41 oveq12 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ 𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩) → (𝑦 + 𝑧) = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))
4241eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ 𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) ↔ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩)))
4342imbi1d 332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ 𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩) → ((⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋)) ↔ (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋))))
4443imbi2d 331 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ 𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩) → (((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋))) ↔ ((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋)))))
4544biimprd 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ 𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩) → (((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋))) → ((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋)))))
4645com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ 𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩) → ((𝑅𝑔) 𝑋 → (((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋))) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋)))))
4746impr 446 . . . . . . . 8 ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) → (((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋))) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋))))
4847com12 32 . . . . . . 7 (((𝑅𝑔) 𝑋 → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) → 𝑁 (𝑄 𝑋))) → ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋))))
4940, 48syl6 35 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ((𝑠𝐸𝑔𝑇) → ((𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋)))))
5049rexlimdvv 3184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (∃𝑠𝐸𝑔𝑇 (𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋))))
5127, 50syl5bir 234 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ((∃𝑠𝐸 𝑦 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑠⟩ ∧ ∃𝑔𝑇 (𝑧 = ⟨𝑔, 𝑂⟩ ∧ (𝑅𝑔) 𝑋)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋))))
5226, 51sylbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ((𝑦 ∈ (𝐽𝑄) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼𝑋)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋))))
5352rexlimdvv 3184 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (∃𝑦 ∈ (𝐽𝑄)∃𝑧 ∈ (𝐼𝑋)⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (𝑦 + 𝑧) → 𝑁 (𝑄 𝑋)))
5418, 53mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → 𝑁 (𝑄 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  wss 3732  cop 4340   class class class wbr 4809  cmpt 4888   I cid 5184  cres 5279  cfv 6068  crio 6802  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  lecple 16223  occoc 16224  joincjn 17212  LSSumclsm 18315  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LHypclh 35872  LTrncltrn 35989  trLctrl 36046  TEndoctendo 36640  DVecHcdvh 36966  DIsoBcdib 37026  DIsoCcdic 37060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-undef 7602  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-0g 16370  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-subg 17857  df-lsm 18317  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lvec 19375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047  df-tendo 36643  df-edring 36645  df-disoa 36917  df-dvech 36967  df-dib 37027  df-dic 37061
This theorem is referenced by:  cdlemn11  37099
  Copyright terms: Public domain W3C validator