Theorem matvscl 21488

Description: Closure of the scalar multiplication in the matrix ring. (lmodvscl 20055 analog.) (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matvscl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem matvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matvscl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matlmod 21486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ LMod)
4		matvscl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1	matsca2 21477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
6	5	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
7	4, 6	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
8	7	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
9	8	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
10	9	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
11	10	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
12		simprr 769	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		matvscl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15		matvscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
16		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 20055	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18	3, 11, 12, 17	syl3anc 1369	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Ringcrg 19698  LModclmod 20038   Mat cmat 21464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  21560  scmatscmiddistr  21565  scmatmats  21568  scmatscm  21570  scmataddcl  21573  scmatsubcl  21574  scmatmulcl  21575  smatvscl  21581  scmatrhmcl  21585  scmatf1  21588  1pmatscmul  21759  mat2pmatlin  21792  mat2pmatscmxcl  21797  m2pmfzgsumcl  21805  monmatcollpw  21836  pmatcollpw  21838  pmatcollpwfi  21839  chmatcl  21885  chmatval  21886  chmaidscmat  21905  cpmidpmatlem2  21928  chcoeffeqlem  21942