Theorem matvscl 22588

Description: Closure of the scalar multiplication in the matrix ring. (lmodvscl 20999 analog.) (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matvscl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem matvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matvscl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matlmod 22586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ LMod)
4		matvscl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1	matsca2 22577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
6	5	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
7	4, 6	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
8	7	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
9	8	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
10	9	adantrd 496	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
11	10	imp 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
12		simprr 784	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		matvscl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15		matvscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
17	13, 14, 15, 16	lmodvscl 20999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18	3, 11, 12, 17	syl3anc 1398	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  Ringcrg 20310  LModclmod 20981   Mat cmat 22564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-mat 22565

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  22660  scmatscmiddistr  22665  scmatmats  22668  scmatscm  22670  scmataddcl  22673  scmatsubcl  22674  scmatmulcl  22675  smatvscl  22681  scmatrhmcl  22685  scmatf1  22688  1pmatscmul  22859  mat2pmatlin  22892  mat2pmatscmxcl  22897  m2pmfzgsumcl  22905  monmatcollpw  22936  pmatcollpw  22938  pmatcollpwfi  22939  chmatcl  22985  chmatval  22986  chmaidscmat  23005  cpmidpmatlem2  23028  chcoeffeqlem  23042