MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscl 20975
Description: Closure of the scalar multiplication in the matrix ring. (lmodvscl 19587 analog.) (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matvscl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvscl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscl.s · = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
matvscl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem matvscl
StepHypRef Expression
1 matvscl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matlmod 20973 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
32adantr 481 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → 𝐴 ∈ LMod)
4 matvscl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
51matsca2 20964 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
65fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
74, 6syl5eq 2873 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
87eleq2d 2903 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
98biimpd 230 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
109adantrd 492 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶𝐾𝑋𝐵) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
1110imp 407 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
12 simprr 769 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
13 matvscl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 eqid 2826 . . 3 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15 matvscl.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐴)
16 eqid 2826 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
1713, 14, 15, 16lmodvscl 19587 . 2 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)
183, 11, 12, 17syl3anc 1365 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝐵)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  Ringcrg 19233  LModclmod 19570   Mat cmat 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-subg 18221  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-subrg 19469  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-dsmm 20811  df-frlm 20826  df-mat 20952
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  21047  scmatscmiddistr  21052  scmatmats  21055  scmatscm  21057  scmataddcl  21060  scmatsubcl  21061  scmatmulcl  21062  smatvscl  21068  scmatrhmcl  21072  scmatf1  21075  1pmatscmul  21245  mat2pmatlin  21278  mat2pmatscmxcl  21283  m2pmfzgsumcl  21291  monmatcollpw  21322  pmatcollpw  21324  pmatcollpwfi  21325  chmatcl  21371  chmatval  21372  chmaidscmat  21391  cpmidpmatlem2  21414  chcoeffeqlem  21428
  Copyright terms: Public domain W3C validator