Theorem ex-ovoliunnfl 38397

Description: Demonstration of ovoliunnfl 38396. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ovoliunnfl	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ex-ovoliunnfl

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))))
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
3		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
4	3	sseq1d 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ↔ (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ))
5		2fveq3 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘(𝑓‘𝑛)) = (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
6	5	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ↔ ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)))
8	7	rspccva 3578	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
9	8	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
10	9	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
11	8	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
12	11	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
13	1, 2, 10, 12	ovoliun 25732	. 2 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑓‘𝑚)) ≤ sup(ran seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))), ℝ*, < ))
14	13	ovoliunnfl 38396	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537   ≼ cdom 8953  ℝcr 11124  1c1 11126   + caddc 11128  ℕcn 12258  seqcseq 14065  vol*covol 25689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-rest 17509  df-topgen 17530  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-top 23118  df-topon 23135  df-bases 23170  df-cmp 23611  df-ovol 25691

This theorem is used by: (None)