Theorem ex-ovoliunnfl 37611

Description: Demonstration of ovoliunnfl 37610. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ovoliunnfl	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ex-ovoliunnfl

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
3		fveq2 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
4	3	sseq1d 3997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ↔ (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ))
5		2fveq3 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘(𝑓‘𝑛)) = (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
6	5	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
7	4, 6	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ↔ ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)))
8	7	rspccva 3605	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
9	8	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
10	9	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
11	8	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
12	11	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
13	1, 2, 10, 12	ovoliun 25495	. 2 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑓‘𝑚)) ≤ sup(ran seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))), ℝ*, < ))
14	13	ovoliunnfl 37610	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ⊆ wss 3933  ∪ cuni 4889   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542   ≼ cdom 8966  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141  ℕcn 12249  seqcseq 14025  vol*covol 25452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-rest 17443  df-topgen 17464  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-top 22867  df-topon 22884  df-bases 22919  df-cmp 23360  df-ovol 25454

This theorem is referenced by: (None)