Theorem ex-ovoliunnfl 38582

Description: Demonstration of ovoliunnfl 38581. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ovoliunnfl	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ex-ovoliunnfl

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))))
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
3		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
4	3	sseq1d 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ↔ (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ))
5		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘(𝑓‘𝑛)) = (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
6	5	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ↔ ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)))
8	7	rspccva 3575	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
9	8	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
10	9	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
11	8	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
12	11	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
13	1, 2, 10, 12	ovoliun 25826	. 2 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑓‘𝑚)) ≤ sup(ran seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))), ℝ*, < ))
14	13	ovoliunnfl 38581	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538   ≼ cdom 8971  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203  ℕcn 12335  seqcseq 14144  vol*covol 25783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-ovol 25785

This theorem is used by: (None)