Theorem ex-ovoliunnfl 36335

Description: Demonstration of ovoliunnfl 36334. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ovoliunnfl	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ex-ovoliunnfl

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))))
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
3		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
4	3	sseq1d 4009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ↔ (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ))
5		2fveq3 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘(𝑓‘𝑛)) = (vol*‘(𝑓‘𝑚)))
6	5	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
7	4, 6	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ↔ ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)))
8	7	rspccva 3608	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ))
9	8	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
10	9	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ⊆ ℝ)
11	8	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
12	11	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓‘𝑚)) ∈ ℝ)
13	1, 2, 10, 12	ovoliun 24951	. 2 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓‘𝑛)) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑚 ∈ ℕ (𝑓‘𝑚)) ≤ sup(ran seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓‘𝑚)))), ℝ*, < ))
14	13	ovoliunnfl 36334	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → ∪ 𝐴 ≠ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4901   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6527  ‘cfv 6532   ≼ cdom 8920  ℝcr 11091  1c1 11093   + caddc 11095  ℕcn 12194  seqcseq 13948  vol*covol 24908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-rest 17350  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-top 22325  df-topon 22342  df-bases 22378  df-cmp 22820  df-ovol 24910

This theorem is referenced by: (None)