Theorem regsumfsum 21367

Description: Relate a group sum on (ℂ_fld ↾_s ℝ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 21366. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
regsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
regsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
regsumfsum	⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem regsumfsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21290	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21292	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
4		cnfldex 21289	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		regsumfsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		ax-resscn 11058	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9		regsumfsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	fmpttd 7043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
11		0red 11110	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
14	12	addridd 11308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	13, 14	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18585	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	recnd 11135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21366	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5167  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004  Σcsu 15588   ↾_s cress 17136   Σ_g cgsu 17339  ℂ_fldccnfld 21286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-cnfld 21287

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  25333