MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem regsumfsum 21372
Description: Relate a group sum on (β„‚fld β†Ύs ℝ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 21371. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
regsumfsum.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
regsumfsum.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
regsumfsum (πœ‘ β†’ ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem regsumfsum
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21287 . . 3 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfldadd 21289 . . 3 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3 eqid 2725 . . 3 (β„‚fld β†Ύs ℝ) = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
4 cnfldex 21286 . . . 4 β„‚fld ∈ V
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ V)
6 regsumfsum.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 ax-resscn 11195 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
9 regsumfsum.2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109fmpttd 7120 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
11 0red 11247 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
12 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1312addlidd 11445 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
1412addridd 11444 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
1513, 14jca 510 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯))
161, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15gsumress 18641 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
179recnd 11272 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
186, 17gsumfsum 21371 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
1916, 18eqtr3d 2767 1 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld β†Ύs ℝ) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   ↦ cmpt 5226  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141  Ξ£csu 15664   β†Ύs cress 17208   Ξ£g cgsu 17421  β„‚fldccnfld 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-cnfld 21284
This theorem is referenced by:  rrxdsfi  25357
  Copyright terms: Public domain W3C validator