Theorem regsumfsum 21374

Description: Relate a group sum on (ℂ_fld ↾_s ℝ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 21373. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
regsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
regsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
regsumfsum	⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem regsumfsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21297	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21299	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
4		cnfldex 21296	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		regsumfsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		ax-resscn 11070	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9		regsumfsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	fmpttd 7054	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
11		0red 11122	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
14	12	addridd 11320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	13, 14	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18592	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	recnd 11147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21373	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5174  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013   + caddc 11016  Σcsu 15595   ↾_s cress 17143   Σ_g cgsu 17346  ℂ_fldccnfld 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-cnfld 21294

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  25339