MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem regsumfsum 20136
Description: Relate a group sum on (ℂflds ℝ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 20135. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
regsumfsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
regsumfsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
regsumfsum (𝜑 → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem regsumfsum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20072 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 20073 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
3 eqid 2799 . . 3 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
4 cnfldex 20071 . . . 4 fld ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6 regsumfsum.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 ax-resscn 10281 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9 regsumfsum.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
109fmpttd 6611 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
11 0red 10332 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1312addid2d 10527 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1412addid1d 10526 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1513, 14jca 508 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
161, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15gsumress 17591 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
179recnd 10357 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
186, 17gsumfsum 20135 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1916, 18eqtr3d 2835 1 (𝜑 → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769  cmpt 4922  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227  Σcsu 14757  s cress 16185   Σg cgsu 16416  fldccnfld 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-cnfld 20069
This theorem is referenced by:  rrxdsfi  41248
  Copyright terms: Public domain W3C validator