Theorem regsumfsum 21747

Description: Relate a group sum on (ℂ_fld ↾_s ℝ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 21746. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
regsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
regsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
regsumfsum	⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem regsumfsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21688	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21690	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
4		cnfldex 21687	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		regsumfsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		ax-resscn 11261	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9		regsumfsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	fmpttd 7116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
11		0red 11315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
14	12	addridd 11514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
15	13, 14	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18877	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	recnd 11341	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21746	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204   + caddc 11207  Σcsu 15859   ↾_s cress 17414   Σ_g cgsu 17617  ℂ_fldccnfld 21684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-cnfld 21685

This theorem is used by:  rrxdsfi  25738  crosspdotsumlem  51133