Theorem iaaOLD 26634

Description: Obsolete version of iaa 26633 as of 30-Aug-2026. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
iaaOLD	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaaOLD

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11240	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnex 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		sqcl 14241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11239	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9		fconstmpt 5713	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 7702	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12		zsscn 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
13		1z 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		2nn0 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		plypow 26503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18		plyconst 26504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
19	12, 13, 18	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21		zaddcl 12717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
23	17, 20, 22	plyadd 26516	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
24	11, 23	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
25	24	mptru 1577	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26		0cn 11279	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		sq0i 14316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
28	27	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29		0p1e1 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32		1ex 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt 6985	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35		ax-1ne0 11250	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
36	34, 35	eqnetri 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37		ne0p 26505	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
38	26, 36, 37	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39		eldifsn 4748	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
40	25, 38, 39	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42		i2 14326	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
43	41, 42	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
44	43	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45		neg1cn 12286	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
46		1pneg1e0 12441	. . . . . . 7 ⊢ (1 + -1) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 11483	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 1) = 0
48	44, 47	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49		c0ex 11281	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	48, 31, 49	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52		fveq1 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
53	52	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
54	53	rspcev 3577	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
55	40, 51, 54	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56		elaa 26621	. 2 ⊢ (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
57	1, 55, 56	mpbir2an 724	1 ⊢ i ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   + caddc 11184  -cneg 11523  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ↑cexp 14184  0_𝑝c0p 25970  Polycply 26482  𝔸caa 26619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-0p 25971  df-ply 26486  df-aa 26620

This theorem is used by: (None)