Theorem madjusmdet 34072

Description: Express the cofactor of the matrix, i.e. the entries of its adjunct matrix, using determinant of submatrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
madjusmdet	⊢ (𝜑 → (𝐽(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝐽))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽))))

Proof of Theorem madjusmdet

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		madjusmdet.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
3		madjusmdet.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
4		madjusmdet.k	. 2 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
5		madjusmdet.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		madjusmdet.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
7		madjusmdet.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
8		madjusmdet.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		madjusmdet.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		madjusmdet.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
11		madjusmdet.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
12		madjusmdet.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
13		eqeq1 2756	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
14		breq1 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝐼 ↔ 𝑖 ≤ 𝐼))
15		oveq1 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝑘 = 𝑖)
17	14, 15, 16	ifbieq12d 4499	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘) = if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))
18	13, 17	ifbieq2d 4497	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, 𝐼, if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘)) = if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
19	18	cbvmptv 5194	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑘 = 1, 𝐼, if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘))) = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
20		breq1 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑖 ≤ 𝑁))
21	20, 15, 16	ifbieq12d 4499	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘) = if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖))
22	13, 21	ifbieq2d 4497	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, 𝑁, if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘)) = if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
23	22	cbvmptv 5194	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑘 = 1, 𝑁, if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘))) = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
24		eqeq1 2756	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 = 1 ↔ 𝑗 = 1))
25		breq1 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ≤ 𝐽 ↔ 𝑗 ≤ 𝐽))
26		oveq1 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → 𝑙 = 𝑗)
28	25, 26, 27	ifbieq12d 4499	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙) = if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗))
29	24, 28	ifbieq2d 4497	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 = 1, 𝐽, if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙)) = if(𝑗 = 1, 𝐽, if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗)))
30	29	cbvmptv 5194	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑙 = 1, 𝐽, if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑗 = 1, 𝐽, if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗)))
31		breq1 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ≤ 𝑁 ↔ 𝑗 ≤ 𝑁))
32	31, 26, 27	ifbieq12d 4499	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙) = if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗))
33	24, 32	ifbieq2d 4497	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 = 1, 𝑁, if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙)) = if(𝑗 = 1, 𝑁, if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗)))
34	33	cbvmptv 5194	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑙 = 1, 𝑁, if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑗 = 1, 𝑁, if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗)))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 23, 30, 34	madjusmdetlem4 34071	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝐽))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ifcif 4470   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060   + caddc 11062   ≤ cle 11203   − cmin 11400  -cneg 11401  ℕcn 12196  ...cfz 13498  ↑cexp 14060  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  CRingccrg 20252  ℤRHomczrh 21520   Mat cmat 22436   maDet cmdat 22613   maAdju cmadu 22661  subMat1csmat 34034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-xor 1522  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-word 14513  df-lsw 14562  df-concat 14570  df-s1 14596  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-splice 14749  df-reverse 14758  df-s2 14847  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-efmnd 18875  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-gim 19271  df-cntz 19329  df-oppg 19358  df-symg 19382  df-pmtr 19454  df-psgn 19503  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-drng 20749  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-cnfld 21394  df-zring 21468  df-zrh 21524  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mat 22437  df-marrep 22587  df-subma 22606  df-mdet 22614  df-madu 22663  df-minmar1 22664  df-smat 34035

This theorem is referenced by:  mdetlap  34073