Theorem madjusmdet 34382

Description: Express the cofactor of the matrix, i.e. the entries of its adjunct matrix, using determinant of submatrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
madjusmdet	⊢ (𝜑 → (𝐽(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝐽))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽))))

Proof of Theorem madjusmdet

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		madjusmdet.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
3		madjusmdet.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
4		madjusmdet.k	. 2 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
5		madjusmdet.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		madjusmdet.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
7		madjusmdet.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
8		madjusmdet.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		madjusmdet.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		madjusmdet.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
11		madjusmdet.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
12		madjusmdet.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
13		eqeq1 2764	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
14		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝐼 ↔ 𝑖 ≤ 𝐼))
15		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
16		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝑘 = 𝑖)
17	14, 15, 16	ifbieq12d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘) = if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))
18	13, 17	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, 𝐼, if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘)) = if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
19	18	cbvmptv 5209	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑘 = 1, 𝐼, if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘))) = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
20		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑖 ≤ 𝑁))
21	20, 15, 16	ifbieq12d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘) = if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖))
22	13, 21	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, 𝑁, if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘)) = if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
23	22	cbvmptv 5209	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑘 = 1, 𝑁, if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘))) = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
24		eqeq1 2764	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 = 1 ↔ 𝑗 = 1))
25		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ≤ 𝐽 ↔ 𝑗 ≤ 𝐽))
26		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
27		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → 𝑙 = 𝑗)
28	25, 26, 27	ifbieq12d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙) = if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗))
29	24, 28	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 = 1, 𝐽, if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙)) = if(𝑗 = 1, 𝐽, if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗)))
30	29	cbvmptv 5209	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑙 = 1, 𝐽, if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑗 = 1, 𝐽, if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗)))
31		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ≤ 𝑁 ↔ 𝑗 ≤ 𝑁))
32	31, 26, 27	ifbieq12d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙) = if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗))
33	24, 32	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 = 1, 𝑁, if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙)) = if(𝑗 = 1, 𝑁, if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗)))
34	33	cbvmptv 5209	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑙 = 1, 𝑁, if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑗 = 1, 𝑁, if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗)))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 23, 30, 34	madjusmdetlem4 34381	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝐽))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1c1 11158   + caddc 11160   ≤ cle 11301   − cmin 11498  -cneg 11499  ℕcn 12290  ...cfz 13594  ↑cexp 14158  Basecbs 17334  ._rcmulr 17376  CRingccrg 20407  ℤRHomczrh 21752   Mat cmat 22669   maDet cmdat 22846   maAdju cmadu 22894  subMat1csmat 34344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-word 14612  df-lsw 14661  df-concat 14669  df-s1 14696  df-substr 14742  df-pfx 14774  df-splice 14852  df-reverse 14861  df-s2 14952  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-efmnd 19012  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-gim 19420  df-cntz 19478  df-oppg 19507  df-symg 19531  df-pmtr 19603  df-psgn 19652  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-dvr 20578  df-rhm 20649  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-drng 20929  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-cnfld 21626  df-zring 21700  df-zrh 21756  df-dsmm 21985  df-frlm 22000  df-mat 22670  df-marrep 22820  df-subma 22839  df-mdet 22847  df-madu 22896  df-minmar1 22897  df-smat 34345

This theorem is used by:  mdetlap  34383