![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > madjusmdet | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Express the cofactor of the matrix, i.e. the entries of its adjunct matrix, using determinant of submatrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
madjusmdet.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
madjusmdet.a | โข ๐ด = ((1...๐) Mat ๐ ) |
madjusmdet.d | โข ๐ท = ((1...๐) maDet ๐ ) |
madjusmdet.k | โข ๐พ = ((1...๐) maAdju ๐ ) |
madjusmdet.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
madjusmdet.z | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
madjusmdet.e | โข ๐ธ = ((1...(๐ โ 1)) maDet ๐ ) |
madjusmdet.n | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
madjusmdet.r | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
madjusmdet.i | โข (๐ โ ๐ผ โ (1...๐)) |
madjusmdet.j | โข (๐ โ ๐ฝ โ (1...๐)) |
madjusmdet.m | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
madjusmdet | โข (๐ โ (๐ฝ(๐พโ๐)๐ผ) = ((๐โ(-1โ(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ(๐ผ(subMat1โ๐)๐ฝ)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | madjusmdet.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
2 | madjusmdet.a | . 2 โข ๐ด = ((1...๐) Mat ๐ ) | |
3 | madjusmdet.d | . 2 โข ๐ท = ((1...๐) maDet ๐ ) | |
4 | madjusmdet.k | . 2 โข ๐พ = ((1...๐) maAdju ๐ ) | |
5 | madjusmdet.t | . 2 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
6 | madjusmdet.z | . 2 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
7 | madjusmdet.e | . 2 โข ๐ธ = ((1...(๐ โ 1)) maDet ๐ ) | |
8 | madjusmdet.n | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
9 | madjusmdet.r | . 2 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
10 | madjusmdet.i | . 2 โข (๐ โ ๐ผ โ (1...๐)) | |
11 | madjusmdet.j | . 2 โข (๐ โ ๐ฝ โ (1...๐)) | |
12 | madjusmdet.m | . 2 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
13 | eqeq1 2737 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = 1 โ ๐ = 1)) | |
14 | breq1 5109 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ผ โ ๐ โค ๐ผ)) | |
15 | oveq1 7365 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ 1) = (๐ โ 1)) | |
16 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) | |
17 | 14, 15, 16 | ifbieq12d 4515 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)) |
18 | 13, 17 | ifbieq2d 4513 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
19 | 18 | cbvmptv 5219 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
20 | breq1 5109 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) | |
21 | 20, 15, 16 | ifbieq12d 4515 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) |
22 | 13, 21 | ifbieq2d 4513 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
23 | 22 | cbvmptv 5219 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
24 | eqeq1 2737 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = 1 โ ๐ = 1)) | |
25 | breq1 5109 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ฝ โ ๐ โค ๐ฝ)) | |
26 | oveq1 7365 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ 1) = (๐ โ 1)) | |
27 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) | |
28 | 25, 26, 27 | ifbieq12d 4515 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐)) |
29 | 24, 28 | ifbieq2d 4513 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐))) |
30 | 29 | cbvmptv 5219 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐))) |
31 | breq1 5109 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) | |
32 | 31, 26, 27 | ifbieq12d 4515 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) |
33 | 24, 32 | ifbieq2d 4513 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
34 | 33 | cbvmptv 5219 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
35 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 23, 30, 34 | madjusmdetlem4 32468 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ(๐พโ๐)๐ผ) = ((๐โ(-1โ(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ(๐ผ(subMat1โ๐)๐ฝ)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 ifcif 4487 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 โcfv 6497 (class class class)co 7358 1c1 11057 + caddc 11059 โค cle 11195 โ cmin 11390 -cneg 11391 โcn 12158 ...cfz 13430 โcexp 13973 Basecbs 17088 .rcmulr 17139 CRingccrg 19970 โคRHomczrh 20916 Mat cmat 21770 maDet cmdat 21949 maAdju cmadu 21997 subMat1csmat 32431 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-addf 11135 ax-mulf 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-xor 1511 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-ot 4596 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7618 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-supp 8094 df-tpos 8158 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-2o 8414 df-er 8651 df-map 8770 df-pm 8771 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9309 df-sup 9383 df-oi 9451 df-card 9880 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-xnn0 12491 df-z 12505 df-dec 12624 df-uz 12769 df-rp 12921 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-seq 13913 df-exp 13974 df-hash 14237 df-word 14409 df-lsw 14457 df-concat 14465 df-s1 14490 df-substr 14535 df-pfx 14565 df-splice 14644 df-reverse 14653 df-s2 14743 df-struct 17024 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-starv 17153 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-ip 17156 df-tset 17157 df-ple 17158 df-ds 17160 df-unif 17161 df-hom 17162 df-cco 17163 df-0g 17328 df-gsum 17329 df-prds 17334 df-pws 17336 df-mre 17471 df-mrc 17472 df-acs 17474 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-mhm 18606 df-submnd 18607 df-efmnd 18684 df-grp 18756 df-minusg 18757 df-mulg 18878 df-subg 18930 df-ghm 19011 df-gim 19054 df-cntz 19102 df-oppg 19129 df-symg 19154 df-pmtr 19229 df-psgn 19278 df-cmn 19569 df-abl 19570 df-mgp 19902 df-ur 19919 df-ring 19971 df-cring 19972 df-oppr 20054 df-dvdsr 20075 df-unit 20076 df-invr 20106 df-dvr 20117 df-rnghom 20153 df-drng 20199 df-subrg 20234 df-sra 20649 df-rgmod 20650 df-cnfld 20813 df-zring 20886 df-zrh 20920 df-dsmm 21154 df-frlm 21169 df-mat 21771 df-marrep 21923 df-subma 21942 df-mdet 21950 df-madu 21999 df-minmar1 22000 df-smat 32432 |
This theorem is referenced by: mdetlap 32470 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |