Theorem madjusmdet 33995

Description: Express the cofactor of the matrix, i.e. the entries of its adjunct matrix, using determinant of submatrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madjusmdet.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
madjusmdet.d	⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
madjusmdet.k	⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
madjusmdet.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madjusmdet.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
madjusmdet.e	⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
madjusmdet.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
madjusmdet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madjusmdet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
madjusmdet.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
madjusmdet	⊢ (𝜑 → (𝐽(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝐽))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽))))

Proof of Theorem madjusmdet

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		madjusmdet.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
3		madjusmdet.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((1...𝑁) maDet 𝑅)
4		madjusmdet.k	. 2 ⊢ 𝐾 = ((1...𝑁) maAdju 𝑅)
5		madjusmdet.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		madjusmdet.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
7		madjusmdet.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((1...(𝑁 − 1)) maDet 𝑅)
8		madjusmdet.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		madjusmdet.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		madjusmdet.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
11		madjusmdet.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
12		madjusmdet.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
13		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
14		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝐼 ↔ 𝑖 ≤ 𝐼))
15		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
16		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝑘 = 𝑖)
17	14, 15, 16	ifbieq12d 4496	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘) = if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖))
18	13, 17	ifbieq2d 4494	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, 𝐼, if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘)) = if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
19	18	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑘 = 1, 𝐼, if(𝑘 ≤ 𝐼, (𝑘 − 1), 𝑘))) = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝐼, if(𝑖 ≤ 𝐼, (𝑖 − 1), 𝑖)))
20		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑖 ≤ 𝑁))
21	20, 15, 16	ifbieq12d 4496	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘) = if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖))
22	13, 21	ifbieq2d 4494	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, 𝑁, if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘)) = if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
23	22	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑘 = 1, 𝑁, if(𝑘 ≤ 𝑁, (𝑘 − 1), 𝑘))) = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑖 = 1, 𝑁, if(𝑖 ≤ 𝑁, (𝑖 − 1), 𝑖)))
24		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 = 1 ↔ 𝑗 = 1))
25		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ≤ 𝐽 ↔ 𝑗 ≤ 𝐽))
26		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → 𝑙 = 𝑗)
28	25, 26, 27	ifbieq12d 4496	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙) = if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗))
29	24, 28	ifbieq2d 4494	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 = 1, 𝐽, if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙)) = if(𝑗 = 1, 𝐽, if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗)))
30	29	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑙 = 1, 𝐽, if(𝑙 ≤ 𝐽, (𝑙 − 1), 𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑗 = 1, 𝐽, if(𝑗 ≤ 𝐽, (𝑗 − 1), 𝑗)))
31		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ≤ 𝑁 ↔ 𝑗 ≤ 𝑁))
32	31, 26, 27	ifbieq12d 4496	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙) = if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗))
33	24, 32	ifbieq2d 4494	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → if(𝑙 = 1, 𝑁, if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙)) = if(𝑗 = 1, 𝑁, if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗)))
34	33	cbvmptv 5190	. 2 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑙 = 1, 𝑁, if(𝑙 ≤ 𝑁, (𝑙 − 1), 𝑙))) = (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ if(𝑗 = 1, 𝑁, if(𝑗 ≤ 𝑁, (𝑗 − 1), 𝑗)))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 23, 30, 34	madjusmdetlem4 33994	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽(𝐾‘𝑀)𝐼) = ((𝑍‘(-1↑(𝐼 + 𝐽))) · (𝐸‘(𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  1c1 11034   + caddc 11036   ≤ cle 11175   − cmin 11372  -cneg 11373  ℕcn 12169  ...cfz 13456  ↑cexp 14018  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  CRingccrg 20210  ℤRHomczrh 21493   Mat cmat 22386   maDet cmdat 22563   maAdju cmadu 22611  subMat1csmat 33957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-word 14471  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14554  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14805  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-efmnd 18832  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-gim 19229  df-cntz 19287  df-oppg 19316  df-symg 19340  df-pmtr 19412  df-psgn 19461  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-rhm 20447  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-cnfld 21349  df-zring 21441  df-zrh 21497  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-mat 22387  df-marrep 22537  df-subma 22556  df-mdet 22564  df-madu 22613  df-minmar1 22614  df-smat 33958

This theorem is referenced by:  mdetlap  33996