![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > madjusmdet | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Express the cofactor of the matrix, i.e. the entries of its adjunct matrix, using determinant of submatrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
madjusmdet.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
madjusmdet.a | โข ๐ด = ((1...๐) Mat ๐ ) |
madjusmdet.d | โข ๐ท = ((1...๐) maDet ๐ ) |
madjusmdet.k | โข ๐พ = ((1...๐) maAdju ๐ ) |
madjusmdet.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
madjusmdet.z | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
madjusmdet.e | โข ๐ธ = ((1...(๐ โ 1)) maDet ๐ ) |
madjusmdet.n | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
madjusmdet.r | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
madjusmdet.i | โข (๐ โ ๐ผ โ (1...๐)) |
madjusmdet.j | โข (๐ โ ๐ฝ โ (1...๐)) |
madjusmdet.m | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
madjusmdet | โข (๐ โ (๐ฝ(๐พโ๐)๐ผ) = ((๐โ(-1โ(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ(๐ผ(subMat1โ๐)๐ฝ)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | madjusmdet.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
2 | madjusmdet.a | . 2 โข ๐ด = ((1...๐) Mat ๐ ) | |
3 | madjusmdet.d | . 2 โข ๐ท = ((1...๐) maDet ๐ ) | |
4 | madjusmdet.k | . 2 โข ๐พ = ((1...๐) maAdju ๐ ) | |
5 | madjusmdet.t | . 2 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
6 | madjusmdet.z | . 2 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
7 | madjusmdet.e | . 2 โข ๐ธ = ((1...(๐ โ 1)) maDet ๐ ) | |
8 | madjusmdet.n | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
9 | madjusmdet.r | . 2 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
10 | madjusmdet.i | . 2 โข (๐ โ ๐ผ โ (1...๐)) | |
11 | madjusmdet.j | . 2 โข (๐ โ ๐ฝ โ (1...๐)) | |
12 | madjusmdet.m | . 2 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
13 | eqeq1 2730 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = 1 โ ๐ = 1)) | |
14 | breq1 5144 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ผ โ ๐ โค ๐ผ)) | |
15 | oveq1 7412 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ 1) = (๐ โ 1)) | |
16 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) | |
17 | 14, 15, 16 | ifbieq12d 4551 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)) |
18 | 13, 17 | ifbieq2d 4549 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
19 | 18 | cbvmptv 5254 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ผ, if(๐ โค ๐ผ, (๐ โ 1), ๐))) |
20 | breq1 5144 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) | |
21 | 20, 15, 16 | ifbieq12d 4551 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) |
22 | 13, 21 | ifbieq2d 4549 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
23 | 22 | cbvmptv 5254 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
24 | eqeq1 2730 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = 1 โ ๐ = 1)) | |
25 | breq1 5144 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ฝ โ ๐ โค ๐ฝ)) | |
26 | oveq1 7412 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ 1) = (๐ โ 1)) | |
27 | id 22 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) | |
28 | 25, 26, 27 | ifbieq12d 4551 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐)) |
29 | 24, 28 | ifbieq2d 4549 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐))) |
30 | 29 | cbvmptv 5254 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐ฝ, if(๐ โค ๐ฝ, (๐ โ 1), ๐))) |
31 | breq1 5144 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) | |
32 | 31, 26, 27 | ifbieq12d 4551 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐) = if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) |
33 | 24, 32 | ifbieq2d 4549 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐)) = if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
34 | 33 | cbvmptv 5254 | . 2 โข (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) = (๐ โ (1...๐) โฆ if(๐ = 1, ๐, if(๐ โค ๐, (๐ โ 1), ๐))) |
35 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 23, 30, 34 | madjusmdetlem4 33340 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ(๐พโ๐)๐ผ) = ((๐โ(-1โ(๐ผ + ๐ฝ))) ยท (๐ธโ(๐ผ(subMat1โ๐)๐ฝ)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4523 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 1c1 11113 + caddc 11115 โค cle 11253 โ cmin 11448 -cneg 11449 โcn 12216 ...cfz 13490 โcexp 14032 Basecbs 17153 .rcmulr 17207 CRingccrg 20139 โคRHomczrh 21386 Mat cmat 22262 maDet cmdat 22441 maAdju cmadu 22489 subMat1csmat 33303 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-addf 11191 ax-mulf 11192 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-tpos 8212 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-exp 14033 df-hash 14296 df-word 14471 df-lsw 14519 df-concat 14527 df-s1 14552 df-substr 14597 df-pfx 14627 df-splice 14706 df-reverse 14715 df-s2 14805 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-hom 17230 df-cco 17231 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-prds 17402 df-pws 17404 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-submnd 18714 df-efmnd 18794 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-mulg 18996 df-subg 19050 df-ghm 19139 df-gim 19184 df-cntz 19233 df-oppg 19262 df-symg 19287 df-pmtr 19362 df-psgn 19411 df-cmn 19702 df-abl 19703 df-mgp 20040 df-rng 20058 df-ur 20087 df-ring 20140 df-cring 20141 df-oppr 20236 df-dvdsr 20259 df-unit 20260 df-invr 20290 df-dvr 20303 df-rhm 20374 df-subrng 20446 df-subrg 20471 df-drng 20589 df-sra 21021 df-rgmod 21022 df-cnfld 21241 df-zring 21334 df-zrh 21390 df-dsmm 21627 df-frlm 21642 df-mat 22263 df-marrep 22415 df-subma 22434 df-mdet 22442 df-madu 22491 df-minmar1 22492 df-smat 33304 |
This theorem is referenced by: mdetlap 33342 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |