MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem5 25355
Description: Lemma for minvec 25358. Discharge the assumptions in minveclem4 25354. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem5
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . 2 = (-g𝑈)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . 2 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . 2 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . 2 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12 oveq2 7423 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑆↑2) + 𝑠) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
1312breq2d 5155 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑟 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠) ↔ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1413rabbidv 3436 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
15 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝐷𝑧) = (𝐴𝐷𝑦))
1615oveq1d 7430 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝐷𝑧)↑2) = ((𝐴𝐷𝑦)↑2))
1716breq1d 5153 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1817cbvrabv 3438 . . . . 5 {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}
1914, 18eqtrdi 2784 . . . 4 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2019cbvmptv 5256 . . 3 (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2120rneqi 5934 . 2 ran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22 eqid 2728 . 2 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}))) = (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))
23 eqid 2728 . 2 (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) = (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 21, 22, 23minveclem4 25354 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  {crab 3428   cuni 4904   class class class wbr 5143  cmpt 5226   × cxp 5671  ran crn 5674  cres 5675  cfv 6543  (class class class)co 7415  infcinf 9459  cr 11132   + caddc 11136   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469   / cdiv 11896  2c2 12292  +crp 13001  cexp 14053  Basecbs 17174  s cress 17203  distcds 17236  TopOpenctopn 17397  -gcsg 18886  LSubSpclss 20809  filGencfg 21262   fLim cflim 23832  normcnm 24479  ℂPreHilccph 25088  CMetSpccms 25254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17398  df-0g 17417  df-topgen 17419  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-rhm 20405  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-staf 20719  df-srng 20720  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lmhm 20901  df-lvec 20982  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-phl 21552  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-haus 23213  df-fil 23744  df-flim 23837  df-xms 24220  df-ms 24221  df-nm 24485  df-ngp 24486  df-nlm 24489  df-clm 24984  df-cph 25090  df-cfil 25177  df-cmet 25179  df-cms 25257
This theorem is referenced by:  minveclem7  25357
  Copyright terms: Public domain W3C validator