MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem5 25316
Description: Lemma for minvec 25319. Discharge the assumptions in minveclem4 25315. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem5
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 minvec.m . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
4 minvec.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5 minvec.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6 minvec.w . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minvec.j . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
9 minvec.r . 2 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
10 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . 2 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
12 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ ((𝑆↑2) + 𝑠) = ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
1312breq2d 5153 . . . . . 6 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠) ↔ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
1413rabbidv 3434 . . . . 5 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
15 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝐴𝐷𝑧) = (𝐴𝐷𝑦))
1615oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) = ((𝐴𝐷𝑦)↑2))
1716breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 β†’ (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
1817cbvrabv 3436 . . . . 5 {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}
1914, 18eqtrdi 2782 . . . 4 (𝑠 = π‘Ÿ β†’ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2019cbvmptv 5254 . . 3 (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2120rneqi 5930 . 2 ran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
22 eqid 2726 . 2 βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)}))) = βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))
23 eqid 2726 . 2 (((((𝐴𝐷βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) = (((((𝐴𝐷βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) βˆ’ (𝑆↑2))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 21, 22, 23minveclem4 25315 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  β„cr 11111   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  distcds 17215  TopOpenctopn 17376  -gcsg 18865  LSubSpclss 20778  filGencfg 21229   fLim cflim 23793  normcnm 24440  β„‚PreHilccph 25049  CMetSpccms 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-haus 23174  df-fil 23705  df-flim 23798  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nlm 24450  df-clm 24945  df-cph 25051  df-cfil 25138  df-cmet 25140  df-cms 25218
This theorem is referenced by:  minveclem7  25318
  Copyright terms: Public domain W3C validator