MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem5 24595
Description: Lemma for minvec 24598. Discharge the assumptions in minveclem4 24594. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem5
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . 2 = (-g𝑈)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . 2 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . 2 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . 2 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12 oveq2 7279 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑆↑2) + 𝑠) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
1312breq2d 5091 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑟 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠) ↔ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1413rabbidv 3413 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
15 oveq2 7279 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝐷𝑧) = (𝐴𝐷𝑦))
1615oveq1d 7286 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝐷𝑧)↑2) = ((𝐴𝐷𝑦)↑2))
1716breq1d 5089 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1817cbvrabv 3425 . . . . 5 {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}
1914, 18eqtrdi 2796 . . . 4 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2019cbvmptv 5192 . . 3 (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2120rneqi 5845 . 2 ran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22 eqid 2740 . 2 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}))) = (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))
23 eqid 2740 . 2 (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) = (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 21, 22, 23minveclem4 24594 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067  {crab 3070   cuni 4845   class class class wbr 5079  cmpt 5162   × cxp 5588  ran crn 5591  cres 5592  cfv 6432  (class class class)co 7271  infcinf 9178  cr 10871   + caddc 10875   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12729  cexp 13780  Basecbs 16910  s cress 16939  distcds 16969  TopOpenctopn 17130  -gcsg 18577  LSubSpclss 20191  filGencfg 20584   fLim cflim 23083  normcnm 23730  ℂPreHilccph 24328  CMetSpccms 24494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-rest 17131  df-0g 17150  df-topgen 17152  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-rnghom 19957  df-drng 19991  df-subrg 20020  df-staf 20103  df-srng 20104  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lmhm 20282  df-lvec 20363  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-phl 20829  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-haus 22464  df-fil 22995  df-flim 23088  df-xms 23471  df-ms 23472  df-nm 23736  df-ngp 23737  df-nlm 23740  df-clm 24224  df-cph 24330  df-cfil 24417  df-cmet 24419  df-cms 24497
This theorem is referenced by:  minveclem7  24597
  Copyright terms: Public domain W3C validator