MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem5 23639
Description: Lemma for minvec 23642. Discharge the assumptions in minveclem4 23638. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem5
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . 2 = (-g𝑈)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . 2 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . 2 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . 2 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑆↑2) + 𝑠) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
1312breq2d 4898 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑟 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠) ↔ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1413rabbidv 3385 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
15 oveq2 6930 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝐷𝑧) = (𝐴𝐷𝑦))
1615oveq1d 6937 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝐷𝑧)↑2) = ((𝐴𝐷𝑦)↑2))
1716breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
1817cbvrabv 3395 . . . . 5 {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}
1914, 18syl6eq 2829 . . . 4 (𝑠 = 𝑟 → {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2019cbvmptv 4985 . . 3 (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2120rneqi 5597 . 2 ran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22 eqid 2777 . 2 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)}))) = (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))
23 eqid 2777 . 2 (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) = (((((𝐴𝐷 (𝐽 fLim (𝑋filGenran (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑧𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑧)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑠)})))) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 21, 22, 23minveclem4 23638 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093   cuni 4671   class class class wbr 4886  cmpt 4965   × cxp 5353  ran crn 5356  cres 5357  cfv 6135  (class class class)co 6922  infcinf 8635  cr 10271   + caddc 10275   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  +crp 12137  cexp 13178  Basecbs 16255  s cress 16256  distcds 16347  TopOpenctopn 16468  -gcsg 17811  LSubSpclss 19324  filGencfg 20131   fLim cflim 22146  normcnm 22789  ℂPreHilccph 23373  CMetSpccms 23538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-0g 16488  df-topgen 16490  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-phl 20369  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-haus 21527  df-fil 22058  df-flim 22151  df-xms 22533  df-ms 22534  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nlm 22799  df-clm 23270  df-cph 23375  df-cfil 23461  df-cmet 23463  df-cms 23541
This theorem is referenced by:  minveclem7  23641
  Copyright terms: Public domain W3C validator