MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovol0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovol0 25421
Description: The empty set has 0 outer Lebesgue measure. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovol0 (vol*‘∅) = 0

Proof of Theorem ovol0
StepHypRef Expression
1 0ss 4397 . 2 ∅ ⊆ ℝ
2 nnex 12248 . . 3 ℕ ∈ V
320dom 9130 . 2 ∅ ≼ ℕ
4 ovolctb2 25420 . 2 ((∅ ⊆ ℝ ∧ ∅ ≼ ℕ) → (vol*‘∅) = 0)
51, 3, 4mp2an 691 1 (vol*‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wss 3947  c0 4323   class class class wbr 5148  cfv 6548  cdom 8961  cr 11137  0cc0 11138  cn 12242  vol*covol 25390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-xmet 21271  df-met 21272  df-ovol 25392
This theorem is referenced by:  ovolfiniun  25429  ovoliunnul  25435  0mbl  25467  volfiniun  25475  voliunlem3  25480  iccvolcl  25495  ioovolcl  25498  itg1val2  25612  itg11  25619  itg1addlem4  25627  itg1addlem4OLD  25628  itg1le  25642  itg2cnlem2  25691  itgsplitioo  25766  volmeas  33850  mblfinlem3  37132  ismblfin  37134  ovoliunnfl  37135  voliunnfl  37137  volsupnfl  37138  areacirc  37186  arearect  42643  areaquad  42644  vol0  45347
  Copyright terms: Public domain W3C validator