Theorem ovolval5 47938

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, using covers of left-closed right-open intervals are used, instead of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval5.m	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}

Assertion

Ref	Expression
ovolval5	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolval5

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))))
3	2	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))))
4	3	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))))
5		coeq2 5847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((,) ∘ 𝑔) = ((,) ∘ 𝑓))
6	5	rneqd 5932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ran ((,) ∘ 𝑔) = ran ((,) ∘ 𝑓))
7	6	unieqd 4885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) = ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
8	7	sseq2d 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
9		coeq2 5847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔) = ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))
10	9	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))
11	10	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
12	8, 11	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
13	12	cbvrexvw 3245	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
15	4, 14	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
16	15	cbvrabv 3426	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
17	1, 16	ovolval4 47934	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}, ℝ*, < ))
18		ovolval5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
19	10	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
20	8, 19	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
21	20	cbvrexvw 3245	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
23		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) ↔ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
24	23	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
25	24	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
26	22, 25	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
27	26	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
28	18, 27	ovolval5lem3 47937	. . 3 ⊢ inf({𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < )
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
30	17, 29	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872   × cxp 5656  ran crn 5659   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  infcinf 9470  ℝcr 11238  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  ℕcn 12375  (,)cioo 13516  [,)cico 13518  vol*covol 25838  volcvol 25839  Σ^{^}csumge0 47645

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cmp 23760  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-sumge0 47646

This theorem is used by:  ovnovollem3  47941