Theorem ovolval5 45371

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, using covers of left-closed right-open intervals are used, instead of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolval5.m	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}

Assertion

Ref	Expression
ovolval5	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑦   𝑦,𝑀   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑀(𝑓)

Proof of Theorem ovolval5

Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))))
3	2	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))))
4	3	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))))
5		coeq2 5859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((,) ∘ 𝑔) = ((,) ∘ 𝑓))
6	5	rneqd 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ran ((,) ∘ 𝑔) = ran ((,) ∘ 𝑓))
7	6	unieqd 4923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) = ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
8	7	sseq2d 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓)))
9		coeq2 5859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔) = ((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))
10	9	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))
11	10	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
12	8, 11	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
13	12	cbvrexvw 3236	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
15	4, 14	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
16	15	cbvrabv 3443	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
17	1, 16	ovolval4 45367	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf({𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}, ℝ*, < ))
18		ovolval5.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ([,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = (Σ^‘((vol ∘ [,)) ∘ 𝑓)))}
19	10	eqeq2d 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)) ↔ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
20	8, 19	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
21	20	cbvrexvw 3236	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
23		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)) ↔ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
25	24	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
26	22, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔))) ↔ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))))
27	26	cbvrabv 3443	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑧 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑓)))}
28	18, 27	ovolval5lem3 45370	. . 3 ⊢ inf({𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < )
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝑥 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑥 = (Σ^‘((vol ∘ (,)) ∘ 𝑔)))}, ℝ*, < ) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
30	17, 29	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909   × cxp 5675  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  infcinf 9436  ℝcr 11109  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  ℕcn 12212  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  vol*covol 24979  volcvol 24980  Σ^{^}csumge0 45078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-sumge0 45079

This theorem is referenced by:  ovnovollem3  45374