Theorem recrng 20461

Description: The real numbers form a star ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
recrng	⊢ ℝfld ∈ *-Ring

Proof of Theorem recrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rebase 20446	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
2		refldcj 20460	. . 3 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℝfld)
3		refld 20459	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
4		isfld 19228	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
5	3, 4	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
6	5	simpri 478	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ CRing)
8		cjre 14353	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∗‘𝑥) = 𝑥)
9	8	adantl 474	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∗‘𝑥) = 𝑥)
10	1, 2, 7, 9	idsrngd 19349	. 2 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ *-Ring)
11	10	mptru 1514	1 ⊢ ℝfld ∈ *-Ring

Syntax hints:   ∧ wa 387   = wceq 1507  ⊤wtru 1508   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6182  ℝcr 10328  ∗ccj 14310  CRingccrg 19015  DivRingcdr 19219  Fieldcfield 19220  *-Ringcsr 19331  ℝ_fldcrefld 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-addf 10408  ax-mulf 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-tpos 7689  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-fz 12703  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-mhm 17797  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-subg 18054  df-ghm 18121  df-cmn 18662  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-cring 19017  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-dvr 19150  df-rnghom 19184  df-drng 19221  df-field 19222  df-subrg 19250  df-staf 19332  df-srng 19333  df-cnfld 20242  df-refld 20445

This theorem is referenced by:  rrxnm  23691  rrxds  23693  rrxplusgvscavalb  23695