Theorem rrncms 37812

Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrncms.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrncms	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrncms.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
4		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rrncmslem 37811	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
10	9	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
11		nnuz 12796	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12524	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
13	1	rrnmet 37808	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 3, 12, 13	iscmet3 25209	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  ℝcr 11027  1c1 11029   − cmin 11365  ℕcn 12146  abscabs 15159   ⇝ cli 15409  MetOpencmopn 21269  ⇝_𝑡clm 23129  Cauccau 25169  CMetccmet 25170  ℝⁿcrrn 37804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-ntr 22923  df-nei 23001  df-lm 23132  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-cfil 25171  df-cau 25172  df-cmet 25173  df-rrn 37805

This theorem is referenced by:  rrnheibor  37816