Theorem rrncms 38406

Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrncms.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrncms	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrncms.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
4		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rrncmslem 38405	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))
9	8	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
10	9	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
11		nnuz 12901	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12625	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
13	1	rrnmet 38402	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 3, 12, 13	iscmet3 25421	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))))
15	10, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  dom cdm 5662   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  ℝcr 11099  1c1 11101   − cmin 11441  ℕcn 12233  abscabs 15285   ⇝ cli 15535  MetOpencmopn 21481  ⇝_𝑡clm 23352  Cauccau 25381  CMetccmet 25382  ℝⁿcrrn 38398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-rest 17475  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-ntr 23146  df-nei 23224  df-lm 23355  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-cfil 25383  df-cau 25384  df-cmet 25385  df-rrn 38399

This theorem is referenced by:  rrnheibor  38410