Theorem rrncms 38154

Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrncms.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrncms	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrncms.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
4		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rrncmslem 38153	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
10	9	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
11		nnuz 12827	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12558	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
13	1	rrnmet 38150	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 3, 12, 13	iscmet3 25260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℝcr 11037  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  abscabs 15196   ⇝ cli 15446  MetOpencmopn 21342  ⇝_𝑡clm 23191  Cauccau 25220  CMetccmet 25221  ℝⁿcrrn 38146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-ntr 22985  df-nei 23063  df-lm 23194  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-rrn 38147

This theorem is referenced by:  rrnheibor  38158