Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncms 35216
Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrncms.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrncms (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrncms.1 . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 eqid 2824 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3 eqid 2824 . . . . 5 (MetOpen‘(ℝn𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
4 simpll 766 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
6 simpr 488 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7 eqid 2824 . . . . 5 (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑡)‘𝑚))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrncmslem 35215 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼))))
98ex 416 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼)))))
109ralrimiva 3177 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼)))))
11 nnuz 12278 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12010 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
131rrnmet 35212 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
1411, 3, 12, 13iscmet3 23900 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼))))))
1510, 14mpbird 260 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cmpt 5132   × cxp 5540  dom cdm 5542  cres 5544  ccom 5546  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  Fincfn 8505  cr 10534  1c1 10536  cmin 10868  cn 11634  abscabs 14593  cli 14841  MetOpencmopn 20535  𝑡clm 21834  Cauccau 23860  CMetccmet 23861  ncrrn 35208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-lm 21837  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-rrn 35209
This theorem is referenced by:  rrnheibor  35220
  Copyright terms: Public domain W3C validator