Theorem rrncms 38292

Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrncms.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrncms	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrncms.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
4		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
6		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rrncmslem 38291	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))
9	8	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
10	9	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
11		nnuz 12871	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12595	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
13	1	rrnmet 38288	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 3, 12, 13	iscmet3 25342	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))))
15	10, 14	mpbird 259	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  dom cdm 5643   ↾ cres 5645   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920  ℝcr 11065  1c1 11067   − cmin 11407  ℕcn 12203  abscabs 15251   ⇝ cli 15501  MetOpencmopn 21401  ⇝_𝑡clm 23273  Cauccau 25302  CMetccmet 25303  ℝⁿcrrn 38284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cc 10385  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-acn 9893  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ico 13348  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-top 22941  df-topon 22958  df-bases 22993  df-ntr 23067  df-nei 23145  df-lm 23276  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-cfil 25304  df-cau 25305  df-cmet 25306  df-rrn 38285

This theorem is referenced by:  rrnheibor  38296