Theorem rrncms 38030

Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrncms.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrncms	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrncms.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(ℝn‘𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
4		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼)))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ 𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑡)‘𝑚))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rrncmslem 38029	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
10	9	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼)))))
11		nnuz 12790	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12522	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
13	1	rrnmet 38026	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 3, 12, 13	iscmet3 25249	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn‘𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn‘𝐼))))))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℝcr 11025  1c1 11027   − cmin 11364  ℕcn 12145  abscabs 15157   ⇝ cli 15407  MetOpencmopn 21299  ⇝_𝑡clm 23170  Cauccau 25209  CMetccmet 25210  ℝⁿcrrn 38022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-rest 17342  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-ntr 22964  df-nei 23042  df-lm 23173  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-rrn 38023

This theorem is referenced by:  rrnheibor  38034