Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncms 36283
Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrncms.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrncms (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrncms.1 . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2 eqid 2736 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3 eqid 2736 . . . . 5 (MetOpen‘(ℝn𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
4 simpll 765 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5 simplr 767 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
6 simpr 485 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7 eqid 2736 . . . . 5 (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑡)‘𝑚))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrncmslem 36282 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼))))
98ex 413 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼)))))
109ralrimiva 3143 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼)))))
11 nnuz 12805 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12533 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
131rrnmet 36279 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
1411, 3, 12, 13iscmet3 24655 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼))))))
1510, 14mpbird 256 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  Fincfn 8882  cr 11049  1c1 11051  cmin 11384  cn 12152  abscabs 15118  cli 15365  MetOpencmopn 20784  𝑡clm 22575  Cauccau 24615  CMetccmet 24616  ncrrn 36275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cc 10370  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-acn 9877  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ico 13269  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-limsup 15352  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-rest 17303  df-topgen 17324  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-top 22241  df-topon 22258  df-bases 22294  df-ntr 22369  df-nei 22447  df-lm 22578  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-cfil 24617  df-cau 24618  df-cmet 24619  df-rrn 36276
This theorem is referenced by:  rrnheibor  36287
  Copyright terms: Public domain W3C validator