Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcmp 33483
Description: The Zariski topology is compact. Proposition 1.1.10(ii) of [EGA], p. 82. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
zarcmp (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Comp)

Proof of Theorem zarcmp
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zartop.1 . 2 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
2 zartop.2 . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
3 sseq1 4005 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ π‘˜ βŠ† 𝑗))
43rabbidv 3437 . . . 4 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑗})
5 sseq2 4006 . . . . 5 (𝑗 = 𝑙 β†’ (π‘˜ βŠ† 𝑗 ↔ π‘˜ βŠ† 𝑙))
65cbvrabv 3439 . . . 4 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙}
74, 6eqtrdi 2784 . . 3 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
87cbvmptv 5261 . 2 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
91, 2, 8zarcmplem 33482 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  TopOpenctopn 17403  CRingccrg 20174  LIdealclidl 21102  Compccmp 23303  PrmIdealcprmidl 33164  Speccrspec 33463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9616  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-rpss 7728  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-oi 9534  df-r1 9788  df-rank 9789  df-dju 9925  df-card 9963  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-nzr 20452  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lmhm 20907  df-lbs 20960  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-lidl 21104  df-rsp 21105  df-lpidl 21212  df-cnfld 21280  df-zring 21373  df-zrh 21429  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-uvc 21717  df-top 22809  df-topon 22826  df-cld 22936  df-cmp 23304  df-prmidl 33165  df-mxidl 33186  df-idlsrg 33225  df-rspec 33464
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator