Theorem zarcmp 34496

Description: The Zariski topology is compact. Proposition 1.1.10(ii) of [EGA], p. 82. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
zarcmp	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 ∈ Comp)

Proof of Theorem zarcmp

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
2		zartop.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
3		sseq1 3956	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑘 ⊆ 𝑗))
4	3	rabbidv 3420	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑗})
5		sseq2 3957	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑘 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑘 ⊆ 𝑙))
6	5	cbvrabv 3423	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙}
7	4, 6	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
8	7	cbvmptv 5209	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
9	1, 2, 8	zarcmplem 34495	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 ∈ Comp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  TopOpenctopn 17572  CRingccrg 20440  LIdealclidl 21464  PrmIdealcprmidl 21596  Compccmp 23684  Speccrspec 34476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-reg 9570  ax-inf2 9626  ax-ac2 10522  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-rpss 7728  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-oi 9488  df-r1 9752  df-rank 9753  df-scott 9910  df-dju 9963  df-card 10001  df-ac 10176  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-rhm 20682  df-nzr 20743  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lmhm 21277  df-lbs 21330  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-prmidl 21597  df-lpidl 21626  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-uvc 22069  df-top 23192  df-topon 23209  df-cld 23317  df-cmp 23685  df-mxidl 33967  df-idlsrg 34015  df-rspec 34477

This theorem is used by: (None)