Theorem zarcmp 32793

Description: The Zariski topology is compact. Proposition 1.1.10(ii) of [EGA], p. 82. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
zarcmp	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 ∈ Comp)

Proof of Theorem zarcmp

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
2		zartop.2	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
3		sseq1 4005	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑘 ⊆ 𝑗))
4	3	rabbidv 3441	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑗})
5		sseq2 4006	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑘 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑘 ⊆ 𝑙))
6	5	cbvrabv 3443	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙}
7	4, 6	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
8	7	cbvmptv 5257	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
9	1, 2, 8	zarcmplem 32792	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ⊆ wss 3946   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6535  TopOpenctopn 17354  CRingccrg 20039  LIdealclidl 20760  Compccmp 22859  PrmIdealcprmidl 32504  Speccrspec 32773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-reg 9574  ax-inf2 9623  ax-ac2 10445  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-addf 11176  ax-mulf 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-rpss 7700  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8691  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-oi 9492  df-r1 9746  df-rank 9747  df-dju 9883  df-card 9921  df-ac 10098  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-hash 14278  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-prds 17380  df-pws 17382  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-cntz 19166  df-lsm 19488  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-cring 20041  df-rnghom 20229  df-nzr 20270  df-subrg 20338  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-lmhm 20610  df-lbs 20663  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-lidl 20764  df-rsp 20765  df-lpidl 20857  df-cnfld 20919  df-zring 20992  df-zrh 21026  df-dsmm 21260  df-frlm 21275  df-uvc 21311  df-top 22365  df-topon 22382  df-cld 22492  df-cmp 22860  df-prmidl 32505  df-mxidl 32527  df-idlsrg 32560  df-rspec 32774

This theorem is referenced by: (None)