Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcmp 32503
Description: The Zariski topology is compact. Proposition 1.1.10(ii) of [EGA], p. 82. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
zarcmp (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Comp)

Proof of Theorem zarcmp
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zartop.1 . 2 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
2 zartop.2 . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
3 sseq1 3974 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ π‘˜ βŠ† 𝑗))
43rabbidv 3418 . . . 4 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑗})
5 sseq2 3975 . . . . 5 (𝑗 = 𝑙 β†’ (π‘˜ βŠ† 𝑗 ↔ π‘˜ βŠ† 𝑙))
65cbvrabv 3420 . . . 4 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙}
74, 6eqtrdi 2793 . . 3 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
87cbvmptv 5223 . 2 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
91, 2, 8zarcmplem 32502 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βŠ† wss 3915   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  TopOpenctopn 17310  CRingccrg 19972  LIdealclidl 20647  Compccmp 22753  PrmIdealcprmidl 32247  Speccrspec 32483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-oi 9453  df-r1 9707  df-rank 9708  df-dju 9844  df-card 9882  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lbs 20552  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-lpidl 20729  df-nzr 20744  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-cmp 22754  df-prmidl 32248  df-mxidl 32269  df-idlsrg 32283  df-rspec 32484
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator