Theorem pidufd 33358

Description: Every principal ideal domain is a unique factorization domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
pidufd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
pidufd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Proof of Theorem pidufd

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
2		pidufd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
3		df-pid 21250	. . . . . 6 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
4	2, 3	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
5	4	elin1d 4196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ IDomn)
7	5	idomringd 21274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13	11, 12	rspsnid 33183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
14	9, 10, 13	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
15		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
16	14, 15	eleqtrrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑖)
17		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}))
18	17	eldifad 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
20	15, 19	eqeltrrd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
21		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
23	6	ad5ant12 754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ IDomn)
24		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
25		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
26	25	sneqd 4642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → {𝑥} = {(0g‘𝑅)})
27	26	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}))
28	12, 21	rsp0 21146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
29	7, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
30	29	ad5antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
31	24, 27, 30	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
32		eldifsni 4795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
33	32	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
34	33	neneqd 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
35	31, 34	pm2.65da 815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
36	35	neqned 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
37	21, 11, 22, 12, 23, 10, 36	rsprprmprmidlb 33335	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
38	20, 37	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅))
39	16, 38	elind 4192	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)))
40	39	ne0d 4335	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
41		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
42	4	elin2d 4197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LPIR)
43	42	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ LPIR)
44		prmidlidl 33256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
45	8, 18, 44	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
46	11, 41, 12, 43, 45	lpirlidllpi 33186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
47	40, 46	r19.29a 3151	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
48	47	ralrimiva 3135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
49		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
50	49, 22, 21	isufd2 33353	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)))
51	50	biimpar 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)) → 𝑅 ∈ UFD)
52	1, 6, 48, 51	syl12anc 835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ UFD)
53	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
54		0ringnnzr 20474	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
55	54	biimpar 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
56	7, 55	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
57	11, 53, 56	0ringufd 33357	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ UFD)
58	52, 57	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943  ∅c0 4322  {csn 4630  ‘cfv 6549  1c1 11141  ♯chash 14325  Basecbs 17183  0_gc0g 17424  Ringcrg 20185  RPrimecrpm 20383  NzRingcnzr 20463  LIdealclidl 21114  RSpancrsp 21115  LPIRclpir 21228  IDomncidom 21245  PIDcpid 21246  PrmIdealcprmidl 33247  UFDcufd 33350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-ico 13365  df-fz 13520  df-hash 14326  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-rprm 20384  df-nzr 20464  df-subrg 20520  df-abv 20709  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-lidl 21116  df-rsp 21117  df-lpidl 21229  df-lpir 21230  df-domn 21248  df-idom 21249  df-pid 21250  df-prmidl 33248  df-ufd 33351

This theorem is referenced by: (None)