Theorem pidufd 33700

Description: Every principal ideal domain is a unique factorization domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
pidufd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
pidufd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Proof of Theorem pidufd

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidufd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2		df-pid 21387	. . . 4 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
3	1, 2	eleqtrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
4	3	elin1d 4156	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5	4	idomringd 20757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
8		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	8, 9	rspsnid 33518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
11	6, 7, 10	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
12		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
13	11, 12	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑖)
14		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}))
15	14	eldifad 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
16	15	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
17	12, 16	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
20	4	ad3antrrr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ IDomn)
21	20	idomcringd 20756	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ CRing)
22		simplr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
23		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
24	23	sneqd 4593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → {𝑥} = {(0g‘𝑅)})
25	24	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}))
26	9, 18	rsp0 21288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
28	27	ad4antr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
29	22, 25, 28	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
30		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
31	30	ad4antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
32	31	neneqd 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
33	29, 32	pm2.65da 826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
34	33	neqned 2963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
35	18, 8, 19, 9, 21, 7, 34	rsprprmprmidlb 33680	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
36	17, 35	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅))
37	13, 36	elind 4152	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)))
38	37	ne0d 4294	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
39		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
40	3	elin2d 4157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LPIR)
41	40	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ LPIR)
42	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ Ring)
43		prmidlidl 33591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	42, 15, 43	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
45	8, 39, 9, 41, 44	lpirlidllpi 33521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
46	38, 45	r19.29a 3169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
47	46	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
48		eqid 2761	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
49	48, 19, 18	isufd 33697	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅))
50	4, 47, 49	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4581  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262  RPrimecrpm 20460  IDomncidom 20722  LIdealclidl 21256  RSpancrsp 21257  LPIRclpir 21371  PIDcpid 21386  PrmIdealcprmidl 33582  UFDcufd 33695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-rprm 20461  df-subrg 20599  df-idom 20725  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-lpidl 21372  df-lpir 21373  df-pid 21387  df-prmidl 33583  df-ufd 33696

This theorem is referenced by: (None)