Theorem pidufd 33571

Description: Every principal ideal domain is a unique factorization domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
pidufd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
pidufd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Proof of Theorem pidufd

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidufd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2		df-pid 21347	. . . 4 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
3	1, 2	eleqtrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
4	3	elin1d 4204	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5	4	idomringd 20728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	8, 9	rspsnid 33399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
13	11, 12	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑖)
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}))
15	14	eldifad 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
17	12, 16	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
20	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ IDomn)
21		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
23	22	sneqd 4638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → {𝑥} = {(0g‘𝑅)})
24	23	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}))
25	9, 18	rsp0 21248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
27	26	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
28	21, 24, 27	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
29		eldifsni 4790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
30	29	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
31	30	neneqd 2945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
32	28, 31	pm2.65da 817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
33	32	neqned 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
34	18, 8, 19, 9, 20, 7, 33	rsprprmprmidlb 33551	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
35	17, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅))
36	13, 35	elind 4200	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)))
37	36	ne0d 4342	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
38		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	3	elin2d 4205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LPIR)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ LPIR)
41	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ Ring)
42		prmidlidl 33472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	41, 15, 42	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	8, 38, 9, 40, 43	lpirlidllpi 33402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
45	37, 44	r19.29a 3162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
46	45	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
47		eqid 2737	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
48	47, 19, 18	isufd 33568	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅))
49	4, 46, 48	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Ringcrg 20230  RPrimecrpm 20432  IDomncidom 20693  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  LPIRclpir 21331  PIDcpid 21346  PrmIdealcprmidl 33463  UFDcufd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rprm 20433  df-subrg 20570  df-idom 20696  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-lpidl 21332  df-lpir 21333  df-pid 21347  df-prmidl 33464  df-ufd 33567

This theorem is referenced by: (None)