Theorem pidufd 33536

Description: Every principal ideal domain is a unique factorization domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
pidufd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
pidufd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Proof of Theorem pidufd

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidufd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2		df-pid 21370	. . . 4 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
3	1, 2	eleqtrdi 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
4	3	elin1d 4227	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5	4	idomringd 20750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
8		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	8, 9	rspsnid 33364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
11	6, 7, 10	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
13	11, 12	eleqtrrd 2847	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑖)
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}))
15	14	eldifad 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
17	12, 16	eqeltrrd 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
20	4	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ IDomn)
21		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
23	22	sneqd 4660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → {𝑥} = {(0g‘𝑅)})
24	23	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}))
25	9, 18	rsp0 21271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
27	26	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
28	21, 24, 27	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
29		eldifsni 4815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
30	29	ad4antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
31	30	neneqd 2951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
32	28, 31	pm2.65da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
33	32	neqned 2953	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
34	18, 8, 19, 9, 20, 7, 33	rsprprmprmidlb 33516	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
35	17, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅))
36	13, 35	elind 4223	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)))
37	36	ne0d 4365	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
38		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	3	elin2d 4228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LPIR)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ LPIR)
41	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ Ring)
42		prmidlidl 33437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	41, 15, 42	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	8, 38, 9, 40, 43	lpirlidllpi 33367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
45	37, 44	r19.29a 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
46	45	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
47		eqid 2740	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
48	47, 19, 18	isufd 33533	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅))
49	4, 46, 48	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  {csn 4648  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  RPrimecrpm 20458  IDomncidom 20715  LIdealclidl 21239  RSpancrsp 21240  LPIRclpir 21354  PIDcpid 21369  PrmIdealcprmidl 33428  UFDcufd 33531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-rprm 20459  df-subrg 20597  df-idom 20718  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-lpidl 21355  df-lpir 21356  df-pid 21370  df-prmidl 33429  df-ufd 33532

This theorem is referenced by: (None)