Theorem pidufd 33633

Description: Every principal ideal domain is a unique factorization domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
pidufd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
pidufd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Proof of Theorem pidufd

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidufd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2		df-pid 21337	. . . 4 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
3	1, 2	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
4	3	elin1d 4140	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
5	4	idomringd 20707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simplr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
8		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
10	8, 9	rspsnid 33461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
11	6, 7, 10	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
13	11, 12	eleqtrrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑖)
14		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}))
15	14	eldifad 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
16	15	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
17	12, 16	eqeltrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (RPrime‘𝑅) = (RPrime‘𝑅)
20	4	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑅 ∈ IDomn)
21		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
23	22	sneqd 4574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → {𝑥} = {(0g‘𝑅)})
24	23	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}))
25	9, 18	rsp0 21238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
27	26	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{(0g‘𝑅)}) = {(0g‘𝑅)})
28	21, 24, 27	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
29		eldifsni 4730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}}) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
30	29	ad4antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → 𝑖 ≠ {(0g‘𝑅)})
31	30	neneqd 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑥 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑖 = {(0g‘𝑅)})
32	28, 31	pm2.65da 822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ¬ 𝑥 = (0g‘𝑅))
33	32	neqned 2942	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
34	18, 8, 19, 9, 20, 7, 33	rsprprmprmidlb 33613	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
35	17, 34	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (RPrime‘𝑅))
36	13, 35	elind 4136	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)))
37	36	ne0d 4277	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
38		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	3	elin2d 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LPIR)
40	39	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ LPIR)
41	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑅 ∈ Ring)
42		prmidlidl 33534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	41, 15, 42	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	8, 38, 9, 40, 43	lpirlidllpi 33464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝑖 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
45	37, 44	r19.29a 3148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})) → (𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
46	45	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅)
47		eqid 2740	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
48	47, 19, 18	isufd 33630	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{(0g‘𝑅)}})(𝑖 ∩ (RPrime‘𝑅)) ≠ ∅))
49	4, 46, 48	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889  ∅c0 4268  {csn 4562  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212  RPrimecrpm 20410  IDomncidom 20672  LIdealclidl 21206  RSpancrsp 21207  LPIRclpir 21321  PIDcpid 21336  PrmIdealcprmidl 33525  UFDcufd 33628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rprm 20411  df-subrg 20549  df-idom 20675  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-lpidl 21322  df-lpir 21323  df-pid 21337  df-prmidl 33526  df-ufd 33629

This theorem is referenced by: (None)