Theorem selvval2lem2 39938

Description: 𝐷 is a ring homomorphism. (Contributed by SN, 15-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvval2lem2.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2lem2.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem2.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem2.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvval2lem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
selvval2lem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvval2lem2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem selvval2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvval2lem2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
2		selvval2lem2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvval2lem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
4		selvval2lem2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		selvval2lem2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
6		selvval2lem2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	2, 3, 4, 5, 6	selvval2lem1 39937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ AssAlg)
8		selvval2lem2.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
10	8, 9	asclrhm 20850	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
12	2	mplassa 20983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
13	4, 6, 12	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)
14	3, 5, 13	mplsca 20973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑇))
15	14	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 RingHom 𝑇) = ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
16	11, 15	eleqtrrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19	17, 18	asclrhm 20850	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈))
20	13, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈))
21		rhmco 19757	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇) ∧ (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈)) → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
22	16, 20, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
23	2, 4, 6	mplsca 20973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))
24	23	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑇) = ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
25	22, 24	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
26	1, 25	eqeltrid 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5555  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Scalarcsca 16805  CRingccrg 19563   RingHom crh 19732  AssAlgcasa 20812  algSccascl 20814   mPoly cmpl 20865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-rnghom 19735  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-assa 20815  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mpl 20870

This theorem is referenced by:  selvval2lem3  39939  selvval2lem4  39941