Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvval2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvval2lem2 39453
 Description: 𝐷 is a ring homomorphism. (Contributed by SN, 15-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
selvval2lem2.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2lem2.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem2.c 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem2.d 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lem2.i (𝜑𝐼𝑉)
selvval2lem2.j (𝜑𝐽𝑊)
selvval2lem2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
selvval2lem2 (𝜑𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem selvval2lem2
StepHypRef Expression
1 selvval2lem2.d . 2 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
2 selvval2lem2.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 selvval2lem2.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
4 selvval2lem2.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
5 selvval2lem2.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝑊)
6 selvval2lem2.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
72, 3, 4, 5, 6selvval2lem1 39452 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ AssAlg)
8 selvval2lem2.c . . . . . . 7 𝐶 = (algSc‘𝑇)
9 eqid 2798 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
108, 9asclrhm 20582 . . . . . 6 (𝑇 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
117, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
122mplassa 20702 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
134, 6, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ AssAlg)
143, 5, 13mplsca 20692 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑇))
1514oveq1d 7151 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 RingHom 𝑇) = ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
1611, 15eleqtrrd 2893 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
17 eqid 2798 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
18 eqid 2798 . . . . . 6 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
1917, 18asclrhm 20582 . . . . 5 (𝑈 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈))
2013, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈))
21 rhmco 19489 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇) ∧ (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈)) → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
2216, 20, 21syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
232, 4, 6mplsca 20692 . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑈))
2423oveq1d 7151 . . 3 (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑇) = ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
2522, 24eleqtrrd 2893 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
261, 25eqeltrid 2894 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5524  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Scalarcsca 16563  CRingccrg 19295   RingHom crh 19464  AssAlgcasa 20544  algSccascl 20546   mPoly cmpl 20597 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-assa 20547  df-ascl 20549  df-psr 20600  df-mpl 20602 This theorem is referenced by:  selvval2lem3  39454  selvval2lem4  39456
 Copyright terms: Public domain W3C validator