Theorem selvval2lem4 39431

Description: The fourth argument passed to evalSub is in the domain (a polynomial in (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)))). (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvval2lem4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2lem4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvval2lem4.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem4.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem4.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lem4.s	⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
selvval2lem4.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvval2lem4.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
selvval2lem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvval2lem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvval2lem4.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvval2lem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvval2lem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem selvval2lem4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvval2lem4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
2		selvval2lem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
3		selvval2lem4.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
4		selvval2lem4.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
5		selvval2lem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		difexg 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
8		selvval2lem4.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
9	5, 8	ssexd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
10		selvval2lem4.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	1, 2, 3, 4, 7, 9, 10	selvval2lem2 39428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
12		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
14	12, 13	rhmf 19474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇))
15		ffrn 6500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
16	11, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
17	1, 2, 3, 4, 7, 9, 10	selvval2lem3 39429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
18	13	subrgss 19529	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇))
19		selvval2lem4.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
20	19, 13	ressbas2 16547	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇) → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
21	17, 18, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
22	21	feq3d 6474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷 ↔ 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)))
23	16, 22	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
24		selvval2lem4.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
25		selvval2lem4.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
26		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
27		selvval2lem4.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
28	24, 12, 25, 26, 27	mplelf 20671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
29	23, 28	fcod 6506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
30		fvexd 6660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
31		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
32	31	rabex 5199	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
34	30, 33	elmapd 8403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝐷 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆)))
35	29, 34	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
36		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
37		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
38		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
39	36, 37, 26, 38, 5	psrbas 20616	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
40	35, 39	eleqtrrd 2893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
41		fvexd 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
42		crngring 19302	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
43		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	12, 43	ring0cl 19315	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
45	10, 42, 44	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
46		ssidd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
47		fvexd 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
48	24, 25, 43, 27, 10	mplelsfi 20730	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
49	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)))
50	49	fveq1d 6647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑅)) = ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g‘𝑅)))
51		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
52		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
53	10, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
54	1, 51, 12, 52, 7, 53	mplasclf 20736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
55	54, 45	fvco3d 6738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g‘𝑅)) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))))
56	1, 7, 10	mplsca 20684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))
57	56	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
58	57	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅)) = ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))))
59		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
60	1	mplassa 20694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
61	7, 10, 60	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)
62		assalmod 20549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ LMod)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
64		assaring 20550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ Ring)
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
66	52, 59, 63, 65	ascl0 20570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (0g‘𝑈))
67	58, 66	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈))
68	67	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))) = (𝐶‘(0g‘𝑈)))
69	2, 9, 61	mplsca 20684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑇))
70	69	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
71	70	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘𝑈)) = (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))))
72		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
73	1, 2, 7, 9, 10	selvval2lem1 39427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ AssAlg)
74		assalmod 20549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ LMod)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
76		assaring 20550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ Ring)
77	73, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Ring)
78	3, 72, 75, 77	ascl0 20570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g‘𝑇))
79		subrgsubg 19534	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇))
80		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
81	19, 80	subg0 18277	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑆))
82	17, 79, 81	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑆))
83	78, 82	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g‘𝑆))
84	68, 71, 83	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑆))
85	50, 55, 84	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
86	41, 45, 28, 16, 46, 33, 47, 48, 85	fsuppcor 8851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆))
87		selvval2lem4.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
88		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
89		selvval2lem4.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
90	87, 36, 38, 88, 89	mplelbas 20668	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋 ↔ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (𝐷 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆)))
91	40, 86, 90	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518  ran crn 5520   “ cima 5522   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Scalarcsca 16560  0_gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   RingHom crh 19460  SubRingcsubrg 19524  LModclmod 19627  AssAlgcasa 20539  algSccascl 20541   mPwSer cmps 20589   mPoly cmpl 20591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-assa 20542  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mpl 20596

This theorem is referenced by:  selvcl  39433