Theorem selvval2lem4 40154

Description: The fourth argument passed to evalSub is in the domain (a polynomial in (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)))). (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvval2lem4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2lem4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvval2lem4.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem4.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem4.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lem4.s	⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
selvval2lem4.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvval2lem4.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
selvval2lem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvval2lem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvval2lem4.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvval2lem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvval2lem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem selvval2lem4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvval2lem4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
2		selvval2lem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
3		selvval2lem4.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
4		selvval2lem4.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
5		selvval2lem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	5	difexd 5248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
7		selvval2lem4.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8	5, 7	ssexd 5243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
9		selvval2lem4.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9	selvval2lem2 40151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
11		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
13	11, 12	rhmf 19885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇))
14		ffrn 6598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
15	10, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9	selvval2lem3 40152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
17	12	subrgss 19940	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇))
18		selvval2lem4.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
19	18, 12	ressbas2 16875	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇) → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
20	16, 17, 19	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
21	20	feq3d 6571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷 ↔ 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)))
22	15, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
23		selvval2lem4.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
24		selvval2lem4.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26		selvval2lem4.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
27	23, 11, 24, 25, 26	mplelf 21114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	22, 27	fcod 6610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
29		fvexd 6771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
30		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
31	30	rabex 5251	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
33	29, 32	elmapd 8587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝐷 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆)))
34	28, 33	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
36		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
37		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
38	35, 36, 25, 37, 5	psrbas 21057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
39	34, 38	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
40		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
41		crngring 19710	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
42		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	11, 42	ring0cl 19723	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
44	9, 41, 43	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
45		ssidd 3940	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
46		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
47	23, 24, 42, 26, 9	mplelsfi 21111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
48	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)))
49	48	fveq1d 6758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑅)) = ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g‘𝑅)))
50		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
51		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
52	9, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
53	1, 50, 11, 51, 6, 52	mplasclf 21183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
54	53, 44	fvco3d 6850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g‘𝑅)) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))))
55	1, 6, 9	mplsca 21127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))
56	55	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
57	56	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅)) = ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))))
58		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
59	1	mplassa 21137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
60	6, 9, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)
61		assalmod 20977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ LMod)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
63		assaring 20978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ Ring)
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
65	51, 58, 62, 64	ascl0 20998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (0g‘𝑈))
66	57, 65	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈))
67	66	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))) = (𝐶‘(0g‘𝑈)))
68	2, 8, 60	mplsca 21127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑇))
69	68	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
70	69	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘𝑈)) = (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))))
71		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
72	1, 2, 6, 8, 9	selvval2lem1 40150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ AssAlg)
73		assalmod 20977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ LMod)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
75		assaring 20978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ Ring)
76	72, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Ring)
77	3, 71, 74, 76	ascl0 20998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g‘𝑇))
78		subrgsubg 19945	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇))
79		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
80	18, 79	subg0 18676	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑆))
81	16, 78, 80	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑆))
82	77, 81	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g‘𝑆))
83	67, 70, 82	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑆))
84	49, 54, 83	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
85	40, 44, 27, 15, 45, 32, 46, 47, 84	fsuppcor 9093	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆))
86		selvval2lem4.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
87		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
88		selvval2lem4.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
89	86, 35, 37, 87, 88	mplelbas 21109	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋 ↔ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (𝐷 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆)))
90	39, 85, 89	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   “ cima 5583   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935  LModclmod 20038  AssAlgcasa 20967  algSccascl 20969   mPwSer cmps 21017   mPoly cmpl 21019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-assa 20970  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mpl 21024

This theorem is referenced by:  selvcl  40156