Theorem selvval2lem4 40228

Description: The fourth argument passed to evalSub is in the domain (a polynomial in (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)))). (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvval2lem4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2lem4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvval2lem4.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem4.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem4.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lem4.s	⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
selvval2lem4.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvval2lem4.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
selvval2lem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvval2lem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvval2lem4.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvval2lem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvval2lem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem selvval2lem4

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvval2lem4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
2		selvval2lem4.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
3		selvval2lem4.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
4		selvval2lem4.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
5		selvval2lem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	5	difexd 5253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
7		selvval2lem4.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8	5, 7	ssexd 5248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
9		selvval2lem4.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9	selvval2lem2 40225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
11		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
13	11, 12	rhmf 19970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇))
14		ffrn 6614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
15	10, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9	selvval2lem3 40226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
17	12	subrgss 20025	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇))
18		selvval2lem4.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
19	18, 12	ressbas2 16949	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇) → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
20	16, 17, 19	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
21	20	feq3d 6587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷 ↔ 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)))
22	15, 21	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
23		selvval2lem4.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
24		selvval2lem4.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26		selvval2lem4.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
27	23, 11, 24, 25, 26	mplelf 21204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	22, 27	fcod 6626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
29		fvexd 6789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
30		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
31	30	rabex 5256	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
33	29, 32	elmapd 8629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝐷 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆)))
34	28, 33	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
36		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
37		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
38	35, 36, 25, 37, 5	psrbas 21147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
39	34, 38	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
40		fvexd 6789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
41		crngring 19795	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
42		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	11, 42	ring0cl 19808	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
44	9, 41, 43	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
45		ssidd 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
46		fvexd 6789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
47	23, 24, 42, 26, 9	mplelsfi 21201	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
48	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)))
49	48	fveq1d 6776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑅)) = ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g‘𝑅)))
50		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
51		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
52	9, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
53	1, 50, 11, 51, 6, 52	mplasclf 21273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
54	53, 44	fvco3d 6868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g‘𝑅)) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))))
55	1, 6, 9	mplsca 21217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))
56	55	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
57	56	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅)) = ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))))
58		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
59	1	mplassa 21227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
60	6, 9, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)
61		assalmod 21067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ LMod)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
63		assaring 21068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ Ring)
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
65	51, 58, 62, 64	ascl0 21088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (0g‘𝑈))
66	57, 65	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈))
67	66	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))) = (𝐶‘(0g‘𝑈)))
68	2, 8, 60	mplsca 21217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑇))
69	68	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
70	69	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘𝑈)) = (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))))
71		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
72	1, 2, 6, 8, 9	selvval2lem1 40224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ AssAlg)
73		assalmod 21067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ LMod)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
75		assaring 21068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ Ring)
76	72, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Ring)
77	3, 71, 74, 76	ascl0 21088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g‘𝑇))
78		subrgsubg 20030	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇))
79		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
80	18, 79	subg0 18761	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇) → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑆))
81	16, 78, 80	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = (0g‘𝑆))
82	77, 81	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g‘𝑆))
83	67, 70, 82	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑆))
84	49, 54, 83	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
85	40, 44, 27, 15, 45, 32, 46, 47, 84	fsuppcor 9163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆))
86		selvval2lem4.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
87		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
88		selvval2lem4.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
89	86, 35, 37, 87, 88	mplelbas 21199	. 2 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋 ↔ ((𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (𝐷 ∘ 𝐹) finSupp (0g‘𝑆)))
90	39, 85, 89	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  SubGrpcsubg 18749  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   RingHom crh 19956  SubRingcsubrg 20020  LModclmod 20123  AssAlgcasa 21057  algSccascl 21059   mPwSer cmps 21107   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-assa 21060  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  selvcl  40230