Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvval2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvval2lem4 39364
 Description: The fourth argument passed to evalSub is in the domain (a polynomial in (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)))). (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
selvval2lem4.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2lem4.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvval2lem4.u 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lem4.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lem4.c 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lem4.d 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lem4.s 𝑆 = (𝑇s ran 𝐷)
selvval2lem4.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvval2lem4.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
selvval2lem4.i (𝜑𝐼𝑉)
selvval2lem4.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvval2lem4.j (𝜑𝐽𝐼)
selvval2lem4.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
selvval2lem4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem selvval2lem4
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvval2lem4.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
2 selvval2lem4.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
3 selvval2lem4.c . . . . . . . 8 𝐶 = (algSc‘𝑇)
4 selvval2lem4.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
5 selvval2lem4.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
6 difexg 5217 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐼𝐽) ∈ V)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
8 selvval2lem4.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽𝐼)
95, 8ssexd 5214 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ V)
10 selvval2lem4.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
111, 2, 3, 4, 7, 9, 10selvval2lem2 39361 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
12 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1412, 13rhmf 19481 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇))
15 ffrn 6516 . . . . . . 7 (𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑇) → 𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
1611, 14, 153syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷)
171, 2, 3, 4, 7, 9, 10selvval2lem3 39362 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
1813subrgss 19536 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇))
19 selvval2lem4.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑇s ran 𝐷)
2019, 13ressbas2 16555 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 ⊆ (Base‘𝑇) → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
2117, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐷 = (Base‘𝑆))
2221feq3d 6490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷:(Base‘𝑅)⟶ran 𝐷𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆)))
2316, 22mpbid 235 . . . . 5 (𝜑𝐷:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
24 selvval2lem4.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
25 selvval2lem4.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
26 eqid 2824 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
27 selvval2lem4.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
2824, 12, 25, 26, 27mplelf 20213 . . . . 5 (𝜑𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2923, 28fcod 6522 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
30 fvexd 6676 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
31 ovex 7182 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
3231rabex 5221 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
3430, 33elmapd 8416 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝐷𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆)))
3529, 34mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
36 eqid 2824 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
37 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
38 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
3936, 37, 26, 38, 5psrbas 20158 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
4035, 39eleqtrrd 2919 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
41 fvexd 6676 . . 3 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ V)
42 crngring 19309 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
43 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4412, 43ring0cl 19322 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4510, 42, 443syl 18 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
46 ssidd 3976 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
47 fvexd 6676 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
4824, 25, 43, 27, 10mplelsfi 20271 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝑅))
494a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)))
5049fveq1d 6663 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(0g𝑅)) = ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g𝑅)))
51 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
52 eqid 2824 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
5310, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
541, 51, 12, 52, 7, 53mplasclf 20277 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
5554, 45fvco3d 6752 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))‘(0g𝑅)) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g𝑅))))
561, 7, 10mplsca 20225 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑈))
5756fveq2d 6665 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
5857fveq2d 6665 . . . . . . 7 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g𝑅)) = ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))))
59 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
601mplassa 20235 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
617, 10, 60syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ AssAlg)
62 assalmod 20092 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ LMod)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
64 assaring 20093 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ AssAlg → 𝑈 ∈ Ring)
6561, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
6652, 59, 63, 65ascl0 20113 . . . . . . 7 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (0g𝑈))
6758, 66eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g𝑅)) = (0g𝑈))
6867fveq2d 6665 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g𝑅))) = (𝐶‘(0g𝑈)))
692, 9, 61mplsca 20225 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑇))
7069fveq2d 6665 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑈) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
7170fveq2d 6665 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘(0g𝑈)) = (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))))
72 eqid 2824 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
731, 2, 7, 9, 10selvval2lem1 39360 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ AssAlg)
74 assalmod 20092 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ LMod)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
76 assaring 20093 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ AssAlg → 𝑇 ∈ Ring)
7773, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ Ring)
783, 72, 75, 77ascl0 20113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g𝑇))
79 subrgsubg 19541 . . . . . . 7 (ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) → ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇))
80 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g𝑇) = (0g𝑇)
8119, 80subg0 18285 . . . . . . 7 (ran 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝑇) → (0g𝑇) = (0g𝑆))
8217, 79, 813syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑇) = (0g𝑆))
8378, 82eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶‘(0g‘(Scalar‘𝑇))) = (0g𝑆))
8468, 71, 833eqtrd 2863 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘(0g𝑅))) = (0g𝑆))
8550, 55, 843eqtrd 2863 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
8641, 45, 28, 16, 46, 33, 47, 48, 85fsuppcor 8864 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) finSupp (0g𝑆))
87 selvval2lem4.w . . 3 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
88 eqid 2824 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
89 selvval2lem4.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
9087, 36, 38, 88, 89mplelbas 20210 . 2 ((𝐷𝐹) ∈ 𝑋 ↔ ((𝐷𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (𝐷𝐹) finSupp (0g𝑆)))
9140, 86, 90sylanbrc 586 1 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052  ◡ccnv 5541  ran crn 5543   “ cima 5545   ∘ ccom 5546  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505   finSupp cfsupp 8830  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  Scalarcsca 16568  0gc0g 16713  SubGrpcsubg 18273  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298   RingHom crh 19467  SubRingcsubrg 19531  LModclmod 19634  AssAlgcasa 20082  algSccascl 20084   mPwSer cmps 20131   mPoly cmpl 20133 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19470  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-assa 20085  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mpl 20138 This theorem is referenced by:  selvcl  39366
 Copyright terms: Public domain W3C validator