Theorem plycoeid3 15452

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to an index no smaller than the degree of the polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycoeid3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plycoeid3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plycoeid3.z	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
plycoeid3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycoeid3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
plycoeid3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
plycoeid3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝐷,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑧   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plycoeid3

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycoeid3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2	1	fveq1d 5634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋))
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4		oveq1 6017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑘) = (𝑋↑𝑘))
5	4	oveq2d 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
6	5	sumeq2sdv 11902	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
7		plycoeid3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8		fveq2 5632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐴‘𝑞) = (𝐴‘𝑘))
9		oveq2 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝑋↑𝑞) = (𝑋↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
11	10	cbvsumv 11893	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))
12		0zd 9474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
13		plycoeid3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
15	12, 14	fzfigd 10670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ∈ Fin)
16		plycoeid3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
18		elfznn0 10327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (0...𝐷) → 𝑞 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑞) ∈ ℂ)
21	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
22	21, 19	expcld 10912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑞) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 8183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
24	15, 23	fsumcl 11932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
25	11, 24	eqeltrrid 2317	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	3, 6, 7, 25	fvmptd3 5733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
27	2, 26	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
28		fveq2 5632	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑟))
29		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑟))
30	28, 29	oveq12d 6028	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
31	30	cbvsumv 11893	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟))
32	27, 31	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
33		plycoeid3.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
34		fzss2 10277	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
36	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
37		elfznn0 10327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝐷) → 𝑟 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
39	36, 38	ffvelcdmd 5776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑟) ∈ ℂ)
40	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	40, 38	expcld 10912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 8183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) ∈ ℂ)
43		eldifn 3327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
45		eldifi 3326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
47		elfznn0 10327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝑀) → 𝑟 ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
49		nn0split 10349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
50	13, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
52	48, 51	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
53		elun 3345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ↔ (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
55	54	orcomd 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ∨ 𝑟 ∈ (0...𝐷)))
56	44, 55	ecased 1383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
57		plycoeid3.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
58		eqimss 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0} → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
60	16	ffund 5480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
61		peano2nn0 9425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
62	13, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
63		nn0uz 9774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
65		uzss 9760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
67	66, 63	sseqtrrdi 3273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ ℕ0)
68	16	fdmd 5483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
69	67, 68	sseqtrrd 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
70		funimass4 5689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
71	60, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
72	59, 71	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0})
73	72	r19.21bi 2618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
74	56, 73	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
75		elsni 3684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑟) ∈ {0} → (𝐴‘𝑟) = 0)
76	74, 75	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) = 0)
77	76	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = (0 · (𝑋↑𝑟)))
78	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂ)
79	78, 48	expcld 10912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
80	79	mul02d 8554	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (0 · (𝑋↑𝑟)) = 0)
81	77, 80	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = 0)
82		elfzelz 10238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (0...𝑀) → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
84		0zd 9474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
85	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝐷 ∈ ℤ)
86		fzdcel 10253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
87	83, 84, 85, 86	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
88	87	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (0...𝑀)DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
89		eluzelz 9748	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	33, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	12, 90	fzfigd 10670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
92	35, 42, 81, 88, 91	fisumss 11924	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
93	32, 92	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
94		fveq2 5632	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑗))
95		oveq2 6018	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝑋↑𝑟) = (𝑋↑𝑗))
96	94, 95	oveq12d 6028	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))
97	96	cbvsumv 11893	. 2 ⊢ Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗))
98	93, 97	eqtrdi 2278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  {csn 3666   ↦ cmpt 4145  dom cdm 4720   “ cima 4723  Fun wfun 5315  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221  ↑cexp 10777  Σcsu 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886

This theorem is referenced by:  dvply2g  15461