Theorem plycoeid3 15995

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to an index no smaller than the degree of the polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycoeid3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plycoeid3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plycoeid3.z	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
plycoeid3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycoeid3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
plycoeid3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
plycoeid3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝐷,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑧   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plycoeid3

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycoeid3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2	1	fveq1d 5700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋))
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4		oveq1 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑘) = (𝑋↑𝑘))
5	4	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
6	5	sumeq2sdv 12162	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
7		plycoeid3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐴‘𝑞) = (𝐴‘𝑘))
9		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝑋↑𝑞) = (𝑋↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
11	10	cbvsumv 12153	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))
12		0zd 9668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
13		plycoeid3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
15	12, 14	fzfigd 10890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ∈ Fin)
16		plycoeid3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
18		elfznn0 10539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (0...𝐷) → 𝑞 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑞) ∈ ℂ)
21	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
22	21, 19	expcld 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑞) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 8353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
24	15, 23	fsumcl 12193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
25	11, 24	eqeltrrid 2326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	3, 6, 7, 25	fvmptd3 5802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
27	2, 26	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
28		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑟))
29		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑟))
30	28, 29	oveq12d 6106	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
31	30	cbvsumv 12153	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟))
32	27, 31	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
33		plycoeid3.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
34		fzss2 10488	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
36	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
37		elfznn0 10539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝐷) → 𝑟 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
39	36, 38	ffvelcdmd 5847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑟) ∈ ℂ)
40	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	40, 38	expcld 11133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 8353	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) ∈ ℂ)
43		eldifn 3352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
45		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
47		elfznn0 10539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝑀) → 𝑟 ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
49		nn0split 10561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
50	13, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
52	48, 51	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
53		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ↔ (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
55	54	orcomd 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ∨ 𝑟 ∈ (0...𝐷)))
56	44, 55	ecased 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
57		plycoeid3.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
58		eqimss 3302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0} → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
60	16	ffund 5540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
61		peano2nn0 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
62	13, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
63		nn0uz 9974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
65		uzss 9960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
67	66, 63	sseqtrrdi 3297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ ℕ0)
68	16	fdmd 5543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
69	67, 68	sseqtrrd 3287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
70		funimass4 5756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
71	60, 69, 70	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
72	59, 71	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0})
73	72	r19.21bi 2638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
74	56, 73	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
75		elsni 3727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑟) ∈ {0} → (𝐴‘𝑟) = 0)
76	74, 75	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) = 0)
77	76	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = (0 · (𝑋↑𝑟)))
78	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂ)
79	78, 48	expcld 11133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
80	79	mul02d 8727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (0 · (𝑋↑𝑟)) = 0)
81	77, 80	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = 0)
82		elfzelz 10446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (0...𝑀) → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
84		0zd 9668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
85	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝐷 ∈ ℤ)
86		fzdcel 10462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
87	83, 84, 85, 86	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
88	87	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (0...𝑀)DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
89		eluzelz 9948	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	33, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	12, 90	fzfigd 10890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
92	35, 42, 81, 88, 91	fisumss 12185	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
93	32, 92	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
94		fveq2 5698	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑗))
95		oveq2 6096	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝑋↑𝑟) = (𝑋↑𝑗))
96	94, 95	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))
97	96	cbvsumv 12153	. 2 ⊢ Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗))
98	93, 97	eqtrdi 2287	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  {csn 3709   ↦ cmpt 4193  dom cdm 4776   “ cima 4779  Fun wfun 5374  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ℤ_≥cuz 9938  ...cfz 10429  ↑cexp 10997  Σcsu 12145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146

This theorem is used by:  dvply2g  16004