Theorem plycoeid3 15273

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to an index no smaller than the degree of the polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycoeid3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plycoeid3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plycoeid3.z	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
plycoeid3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycoeid3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
plycoeid3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
plycoeid3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝐷,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑧   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plycoeid3

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycoeid3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2	1	fveq1d 5585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋))
3		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4		oveq1 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑘) = (𝑋↑𝑘))
5	4	oveq2d 5967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
6	5	sumeq2sdv 11725	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
7		plycoeid3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8		fveq2 5583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐴‘𝑞) = (𝐴‘𝑘))
9		oveq2 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝑋↑𝑞) = (𝑋↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
11	10	cbvsumv 11716	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))
12		0zd 9391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
13		plycoeid3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
15	12, 14	fzfigd 10583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ∈ Fin)
16		plycoeid3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
18		elfznn0 10243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (0...𝐷) → 𝑞 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ffvelcdmd 5723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑞) ∈ ℂ)
21	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
22	21, 19	expcld 10825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑞) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 8100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
24	15, 23	fsumcl 11755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
25	11, 24	eqeltrrid 2294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	3, 6, 7, 25	fvmptd3 5680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
27	2, 26	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
28		fveq2 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑟))
29		oveq2 5959	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑟))
30	28, 29	oveq12d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
31	30	cbvsumv 11716	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟))
32	27, 31	eqtrdi 2255	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
33		plycoeid3.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
34		fzss2 10193	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
36	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
37		elfznn0 10243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝐷) → 𝑟 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
39	36, 38	ffvelcdmd 5723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑟) ∈ ℂ)
40	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	40, 38	expcld 10825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 8100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) ∈ ℂ)
43		eldifn 3297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
45		eldifi 3296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
47		elfznn0 10243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝑀) → 𝑟 ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
49		nn0split 10265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
50	13, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
52	48, 51	eleqtrd 2285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
53		elun 3315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ↔ (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
55	54	orcomd 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ∨ 𝑟 ∈ (0...𝐷)))
56	44, 55	ecased 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
57		plycoeid3.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
58		eqimss 3248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0} → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
60	16	ffund 5435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
61		peano2nn0 9342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
62	13, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
63		nn0uz 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
65		uzss 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
67	66, 63	sseqtrrdi 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ ℕ0)
68	16	fdmd 5438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
69	67, 68	sseqtrrd 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
70		funimass4 5636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
71	60, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
72	59, 71	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0})
73	72	r19.21bi 2595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
74	56, 73	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
75		elsni 3652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑟) ∈ {0} → (𝐴‘𝑟) = 0)
76	74, 75	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) = 0)
77	76	oveq1d 5966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = (0 · (𝑋↑𝑟)))
78	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂ)
79	78, 48	expcld 10825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
80	79	mul02d 8471	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (0 · (𝑋↑𝑟)) = 0)
81	77, 80	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = 0)
82		elfzelz 10154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (0...𝑀) → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
84		0zd 9391	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
85	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝐷 ∈ ℤ)
86		fzdcel 10169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
87	83, 84, 85, 86	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
88	87	ralrimiva 2580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (0...𝑀)DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
89		eluzelz 9664	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	33, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	12, 90	fzfigd 10583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
92	35, 42, 81, 88, 91	fisumss 11747	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
93	32, 92	eqtrd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
94		fveq2 5583	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑗))
95		oveq2 5959	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝑋↑𝑟) = (𝑋↑𝑗))
96	94, 95	oveq12d 5969	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))
97	96	cbvsumv 11716	. 2 ⊢ Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗))
98	93, 97	eqtrdi 2255	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ∖ cdif 3164   ∪ cun 3165   ⊆ wss 3167  {csn 3634   ↦ cmpt 4109  dom cdm 4679   “ cima 4682  Fun wfun 5270  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ...cfz 10137  ↑cexp 10690  Σcsu 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709

This theorem is referenced by:  dvply2g  15282