Theorem plycoeid3 14993

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to an index no smaller than the degree of the polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycoeid3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plycoeid3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plycoeid3.z	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
plycoeid3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycoeid3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
plycoeid3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
plycoeid3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝐷,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑧   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plycoeid3

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycoeid3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2	1	fveq1d 5560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋))
3		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4		oveq1 5929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑘) = (𝑋↑𝑘))
5	4	oveq2d 5938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
6	5	sumeq2sdv 11535	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
7		plycoeid3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐴‘𝑞) = (𝐴‘𝑘))
9		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝑋↑𝑞) = (𝑋↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
11	10	cbvsumv 11526	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))
12		0zd 9338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
13		plycoeid3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
15	12, 14	fzfigd 10523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ∈ Fin)
16		plycoeid3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
18		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (0...𝐷) → 𝑞 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑞) ∈ ℂ)
21	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
22	21, 19	expcld 10765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑞) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 8047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
24	15, 23	fsumcl 11565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
25	11, 24	eqeltrrid 2284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	3, 6, 7, 25	fvmptd3 5655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
27	2, 26	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
28		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑟))
29		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑟))
30	28, 29	oveq12d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
31	30	cbvsumv 11526	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟))
32	27, 31	eqtrdi 2245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
33		plycoeid3.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
34		fzss2 10139	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
36	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
37		elfznn0 10189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝐷) → 𝑟 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
39	36, 38	ffvelcdmd 5698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑟) ∈ ℂ)
40	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	40, 38	expcld 10765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 8047	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) ∈ ℂ)
43		eldifn 3286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
45		eldifi 3285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
47		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝑀) → 𝑟 ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
49		nn0split 10211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
50	13, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
52	48, 51	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
53		elun 3304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ↔ (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
55	54	orcomd 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ∨ 𝑟 ∈ (0...𝐷)))
56	44, 55	ecased 1360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
57		plycoeid3.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
58		eqimss 3237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0} → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
60	16	ffund 5411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
61		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
62	13, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
63		nn0uz 9636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
65		uzss 9622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
67	66, 63	sseqtrrdi 3232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ ℕ0)
68	16	fdmd 5414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
69	67, 68	sseqtrrd 3222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
70		funimass4 5611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
71	60, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
72	59, 71	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0})
73	72	r19.21bi 2585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
74	56, 73	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
75		elsni 3640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑟) ∈ {0} → (𝐴‘𝑟) = 0)
76	74, 75	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) = 0)
77	76	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = (0 · (𝑋↑𝑟)))
78	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂ)
79	78, 48	expcld 10765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
80	79	mul02d 8418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (0 · (𝑋↑𝑟)) = 0)
81	77, 80	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = 0)
82		elfzelz 10100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (0...𝑀) → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
84		0zd 9338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
85	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝐷 ∈ ℤ)
86		fzdcel 10115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
87	83, 84, 85, 86	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
88	87	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (0...𝑀)DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
89		eluzelz 9610	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	33, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	12, 90	fzfigd 10523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
92	35, 42, 81, 88, 91	fisumss 11557	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
93	32, 92	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
94		fveq2 5558	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑗))
95		oveq2 5930	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝑋↑𝑟) = (𝑋↑𝑗))
96	94, 95	oveq12d 5940	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))
97	96	cbvsumv 11526	. 2 ⊢ Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗))
98	93, 97	eqtrdi 2245	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  {csn 3622   ↦ cmpt 4094  dom cdm 4663   “ cima 4666  Fun wfun 5252  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083  ↑cexp 10630  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  dvply2g  15002