Theorem plycoeid3 15484

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to an index no smaller than the degree of the polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycoeid3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
plycoeid3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
plycoeid3.z	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
plycoeid3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycoeid3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
plycoeid3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
plycoeid3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝐷,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀   𝑘,𝑀   𝑗,𝑋,𝑧   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plycoeid3

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycoeid3.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
2	1	fveq1d 5641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋))
3		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑘) = (𝑋↑𝑘))
5	4	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
6	5	sumeq2sdv 11932	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
7		plycoeid3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝐴‘𝑞) = (𝐴‘𝑘))
9		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → (𝑋↑𝑞) = (𝑋↑𝑘))
10	8, 9	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
11	10	cbvsumv 11923	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))
12		0zd 9491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
13		plycoeid3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
15	12, 14	fzfigd 10694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ∈ Fin)
16		plycoeid3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
18		elfznn0 10349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (0...𝐷) → 𝑞 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑞) ∈ ℂ)
21	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
22	21, 19	expcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑞) ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 8200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
24	15, 23	fsumcl 11963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑞 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑞) · (𝑋↑𝑞)) ∈ ℂ)
25	11, 24	eqeltrrid 2319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
26	3, 6, 7, 25	fvmptd3 5740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
27	2, 26	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
28		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑟))
29		oveq2 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑟))
30	28, 29	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑟 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
31	30	cbvsumv 11923	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟))
32	27, 31	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
33		plycoeid3.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
34		fzss2 10299	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
35	33, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) ⊆ (0...𝑀))
36	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
37		elfznn0 10349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝐷) → 𝑟 ∈ ℕ0)
38	37	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ ℕ0)
39	36, 38	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝐴‘𝑟) ∈ ℂ)
40	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	40, 38	expcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 8200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) ∈ ℂ)
43		eldifn 3330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ¬ 𝑟 ∈ (0...𝐷))
45		eldifi 3329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷)) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (0...𝑀))
47		elfznn0 10349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (0...𝑀) → 𝑟 ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
49		nn0split 10371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
50	13, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ℕ0 = ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
52	48, 51	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
53		elun 3348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ((0...𝐷) ∪ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ↔ (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
54	52, 53	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (0...𝐷) ∨ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
55	54	orcomd 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ∨ 𝑟 ∈ (0...𝐷)))
56	44, 55	ecased 1385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
57		plycoeid3.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0})
58		eqimss 3281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) = {0} → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0})
60	16	ffund 5486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
61		peano2nn0 9442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
62	13, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
63		nn0uz 9791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
65		uzss 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
67	66, 63	sseqtrrdi 3276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ ℕ0)
68	16	fdmd 5489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
69	67, 68	sseqtrrd 3266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
70		funimass4 5696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
71	60, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) ⊆ {0} ↔ ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0}))
72	59, 71	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))(𝐴‘𝑟) ∈ {0})
73	72	r19.21bi 2620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
74	56, 73	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) ∈ {0})
75		elsni 3687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑟) ∈ {0} → (𝐴‘𝑟) = 0)
76	74, 75	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑟) = 0)
77	76	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = (0 · (𝑋↑𝑟)))
78	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂ)
79	78, 48	expcld 10936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (𝑋↑𝑟) ∈ ℂ)
80	79	mul02d 8571	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → (0 · (𝑋↑𝑟)) = 0)
81	77, 80	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = 0)
82		elfzelz 10260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (0...𝑀) → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝑝 ∈ ℤ)
84		0zd 9491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
85	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → 𝐷 ∈ ℤ)
86		fzdcel 10275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
87	83, 84, 85, 86	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (0...𝑀)) → DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
88	87	ralrimiva 2605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (0...𝑀)DECID 𝑝 ∈ (0...𝐷))
89		eluzelz 9765	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	33, 89	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	12, 90	fzfigd 10694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
92	35, 42, 81, 88, 91	fisumss 11955	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑟 ∈ (0...𝐷)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
93	32, 92	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)))
94		fveq2 5639	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝐴‘𝑟) = (𝐴‘𝑗))
95		oveq2 6026	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → (𝑋↑𝑟) = (𝑋↑𝑗))
96	94, 95	oveq12d 6036	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑗 → ((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = ((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))
97	96	cbvsumv 11923	. 2 ⊢ Σ𝑟 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑟) · (𝑋↑𝑟)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗))
98	93, 97	eqtrdi 2280	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑗) · (𝑋↑𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ∖ cdif 3197   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200  {csn 3669   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725   “ cima 4728  Fun wfun 5320  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  ↑cexp 10801  Σcsu 11915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916

This theorem is referenced by:  dvply2g  15493