Theorem deg1xrcl 26307

Description: Closure of univariate polynomial degree in extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1xrf.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1xrf.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1xrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1xrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem deg1xrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1xrf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1xrf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1xrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	deg1xrf 26306	. 2 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
5	4	ffvelcdmi 7076	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℝ^*cxr 11266  Basecbs 17301  Poly₁cpl1 22402  deg₁cdg1 26279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-cnfld 21586  df-psr 22124  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-psr1 22405  df-ply1 22407  df-mdeg 26280  df-deg1 26281

This theorem is used by:  deg1lt  26322  deg1ge  26323  coe1mul3  26324  deg1addle2  26327  deg1add  26328  deg1sublt  26335  deg1mul2  26339  deg1tm  26344  ply1divmo  26361  ply1remlem  26390  idomrootle  26398  ig1peu  26400  plypf1  26438  ply1unit  33985  deg1addlt  34010  q1pdir  34013  q1pvsca  34014  vietadeg1  34088  ply1degltdimlem  34132  ply1degltdim  34133  rtelextdg2lem  34236  aks6d1c5lem3  43003  aks6d1c6lem1  43036  aks6d1c6lem3  43038  hbtlem2  43965