MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1xrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1xrcl 26017
Description: Closure of univariate polynomial degree in extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1xrf.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1xrf.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1xrf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1xrcl (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem deg1xrcl
StepHypRef Expression
1 deg1xrf.d . . 3 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
2 deg1xrf.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 deg1xrf.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
41, 2, 3deg1xrf 26016 . 2 𝐷:π΅βŸΆβ„*
54ffvelcdmi 7093 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  β„*cxr 11277  Basecbs 17179  Poly1cpl1 22095   deg1 cdg1 25986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-cnfld 21279  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22098  df-ply1 22100  df-mdeg 25987  df-deg1 25988
This theorem is referenced by:  deg1lt  26032  deg1ge  26033  coe1mul3  26034  deg1addle2  26037  deg1add  26038  deg1sublt  26045  deg1mul2  26049  deg1tm  26053  ply1divmo  26070  ply1remlem  26098  idomrootle  26106  ig1peu  26108  plypf1  26145  ply1unit  33255  deg1addlt  33266  q1pdir  33269  q1pvsca  33270  ply1degltdimlem  33316  ply1degltdim  33317  aks6d1c5lem3  41608  aks6d1c6lem1  41642  aks6d1c6lem3  41644  hbtlem2  42548
  Copyright terms: Public domain W3C validator