Theorem deg1xrcl 26139

Description: Closure of univariate polynomial degree in extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1xrf.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1xrf.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1xrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1xrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem deg1xrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1xrf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1xrf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1xrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	deg1xrf 26138	. 2 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
5	4	ffvelcdmi 7064	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  ℝ^*cxr 11215  Basecbs 17245  Poly₁cpl1 22236  deg₁cdg1 26111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-cnfld 21422  df-psr 21958  df-mpl 21960  df-opsr 21962  df-psr1 22239  df-ply1 22241  df-mdeg 26112  df-deg1 26113

This theorem is referenced by:  deg1lt  26154  deg1ge  26155  coe1mul3  26156  deg1addle2  26159  deg1add  26160  deg1sublt  26167  deg1mul2  26171  deg1tm  26176  ply1divmo  26193  ply1remlem  26222  idomrootle  26230  ig1peu  26232  plypf1  26269  ply1unit  33768  deg1addlt  33793  q1pdir  33796  q1pvsca  33797  vietadeg1  33872  ply1degltdimlem  33916  ply1degltdim  33917  rtelextdg2lem  34020  aks6d1c5lem3  42751  aks6d1c6lem1  42784  aks6d1c6lem3  42786  hbtlem2  43698