Theorem dfii3 24868

Description: Alternate definition of the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfii3.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dfii3	⊢ II = (𝐽 ↾t (0[,]1))

Proof of Theorem dfii3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24755	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13443	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11086	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3924	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
6		dfii3.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtopn 24764	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8		df-ii 24862	. . . 4 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
9	5, 7, 8	metrest 24507	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,]1)) = II)
10	1, 4, 9	mp2an 698	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,]1)) = II
11	10	eqcomi 2748	1 ⊢ II = (𝐽 ↾t (0[,]1))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5616   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   − cmin 11368  [,]cicc 13292  abscabs 15187   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  ∞Metcxmet 21332  ℂ_fldccnfld 21347  IIcii 24860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-ii 24862

This theorem is referenced by:  dfii4  24869  iimulcn  24923  icchmeo  24926  reparphti  24982  cvxpconn  35470  cvxsconn  35471