Theorem dfii3 24783

Description: Alternate definition of the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfii3.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dfii3	⊢ II = (𝐽 ↾t (0[,]1))

Proof of Theorem dfii3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 24667	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2		unitssre 13467	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		ax-resscn 11132	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	2, 3	sstri 3959	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
6		dfii3.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtopn 24676	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8		df-ii 24777	. . . 4 ⊢ II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
9	5, 7, 8	metrest 24419	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,]1)) = II)
10	1, 4, 9	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,]1)) = II
11	10	eqcomi 2739	1 ⊢ II = (𝐽 ↾t (0[,]1))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   × cxp 5639   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11412  [,]cicc 13316  abscabs 15207   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ∞Metcxmet 21256  ℂ_fldccnfld 21271  IIcii 24775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-ii 24777

This theorem is referenced by:  dfii4  24784  iimulcn  24841  iimulcnOLD  24842  icchmeo  24845  icchmeoOLD  24846  reparphti  24903  reparphtiOLD  24904  cvxpconn  35236  cvxsconn  35237