Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2l 38724
 Description: Lemma for lclkr 38739. Eliminate the 𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0 hypotheses. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2f.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q 𝑄 = (0g𝑆)
lclkrlem2f.z 0 = (0g𝑈)
lclkrlem2f.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2f.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2f.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2f.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2f.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
lclkrlem2l.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2l.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2l (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2l
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2f.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrlem2f.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrlem2f.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2f.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lclkrlem2f.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6 lclkrlem2f.q . . 3 𝑄 = (0g𝑆)
7 lclkrlem2f.z . . 3 0 = (0g𝑈)
8 lclkrlem2f.a . . 3 = (LSSum‘𝑈)
9 lclkrlem2f.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 lclkrlem2f.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 lclkrlem2f.j . . 3 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
12 lclkrlem2f.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13 lclkrlem2f.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14 lclkrlem2f.p . . 3 + = (+g𝐷)
15 lclkrlem2f.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1615adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 lclkrlem2f.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1817adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 lclkrlem2f.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
2019adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → 𝐸𝐹)
21 lclkrlem2f.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
2221adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → 𝐺𝐹)
23 lclkrlem2f.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2423adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
25 lclkrlem2f.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
2625adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
27 lclkrlem2f.kb . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
2827adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
29 lclkrlem2f.nx . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
3029adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
31 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → 𝑋 = 0 )
32 lclkrlem2l.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
3332adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → 𝑌𝑉)
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 33lclkrlem2k 38723 . 2 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3515adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3617adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3719adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → 𝐸𝐹)
3821adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → 𝐺𝐹)
3923adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
4025adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
4127adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
4229adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
43 lclkrlem2l.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
4443adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → 𝑋𝑉)
45 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → 𝑌 = 0 )
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45lclkrlem2j 38722 . 2 ((𝜑𝑌 = 0 ) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4715adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4817adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4919adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝐸𝐹)
5021adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝐺𝐹)
5123adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
5225adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
5327adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
5429adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
5543adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝑋𝑉)
56 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝑋0 )
57 eldifsn 4703 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
5855, 56, 57sylanbrc 586 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5932adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝑌𝑉)
60 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝑌0 )
61 eldifsn 4703 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝑉𝑌0 ))
6259, 60, 61sylanbrc 586 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 58, 62lclkrlem2i 38721 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋0𝑌0 )) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
6434, 46, 63pm2.61da2ne 3102 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3916  {csn 4549  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  Scalarcsca 16564  0gc0g 16709  LSSumclsm 18755  LSpanclspn 19736  LSHypclsh 36181  LFnlclfn 36263  LKerclk 36291  LDualcld 36329  HLchlt 36556  LHypclh 37190  DVecHcdvh 38284  ocHcoch 38553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36159 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-tpos 7882  df-undef 7929  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36182  df-lshyp 36183  df-lcv 36225  df-lfl 36264  df-lkr 36292  df-ldual 36330  df-oposet 36382  df-ol 36384  df-oml 36385  df-covers 36472  df-ats 36473  df-atl 36504  df-cvlat 36528  df-hlat 36557  df-llines 36704  df-lplanes 36705  df-lvols 36706  df-lines 36707  df-psubsp 36709  df-pmap 36710  df-padd 37002  df-lhyp 37194  df-laut 37195  df-ldil 37310  df-ltrn 37311  df-trl 37365  df-tgrp 37949  df-tendo 37961  df-edring 37963  df-dveca 38209  df-disoa 38235  df-dvech 38285  df-dib 38345  df-dic 38379  df-dih 38435  df-doch 38554  df-djh 38601 This theorem is referenced by:  lclkrlem2q  38729
 Copyright terms: Public domain W3C validator