Theorem lclkrlem2q 41490

Description: Lemma for lclkr 41500. The sum has a closed kernel when 𝐵 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2q.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2q	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2m.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2m.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6		lclkrlem2m.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		eqid 2729	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		lclkrlem2o.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		lclkrlem2m.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		eqid 2729	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12		lclkrlem2n.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13		lclkrlem2m.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		lclkrlem2m.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐷)
15		lclkrlem2o.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
18		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
19		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
23		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24	1, 3, 15	dvhlvec 41076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
25		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
26		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2m 41486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
28	27	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
29		lclkrlem2q.bn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4746	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		lclkrlem2q.le	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
33		lclkrlem2q.lg	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
34	27	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
35	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29	lclkrlem2o 41488	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21	lclkrlem2l 41485	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  -_gcsg 18843  LSSumclsm 19540  inv_rcinvr 20272  LSpanclspn 20853  LSHypclsh 38941  LFnlclfn 39023  LKerclk 39051  LDualcld 39089  HLchlt 39316  LHypclh 39951  DVecHcdvh 41045  ocHcoch 41314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38919

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986  df-lsatoms 38942  df-lshyp 38943  df-lcv 38985  df-lfl 39024  df-lkr 39052  df-ldual 39090  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-llines 39465  df-lplanes 39466  df-lvols 39467  df-lines 39468  df-psubsp 39470  df-pmap 39471  df-padd 39763  df-lhyp 39955  df-laut 39956  df-ldil 40071  df-ltrn 40072  df-trl 40126  df-tgrp 40710  df-tendo 40722  df-edring 40724  df-dveca 40970  df-disoa 40996  df-dvech 41046  df-dib 41106  df-dic 41140  df-dih 41196  df-doch 41315  df-djh 41362

This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  41493