Theorem lclkrlem2q 41500

Description: Lemma for lclkr 41510. The sum has a closed kernel when 𝐵 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2q.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2q	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2m.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2m.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6		lclkrlem2m.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		eqid 2734	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		lclkrlem2o.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		lclkrlem2m.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		eqid 2734	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12		lclkrlem2n.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13		lclkrlem2m.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		lclkrlem2m.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐷)
15		lclkrlem2o.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
18		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
19		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
23		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24	1, 3, 15	dvhlvec 41086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
25		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
26		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2m 41496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
28	27	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
29		lclkrlem2q.bn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4766	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		lclkrlem2q.le	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
33		lclkrlem2q.lg	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
34	27	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
35	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29	lclkrlem2o 41498	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21	lclkrlem2l 41495	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17230  +_gcplusg 17274  ._rcmulr 17275  Scalarcsca 17277   ·_𝑠 cvsca 17278  0_gc0g 17456  -_gcsg 18923  LSSumclsm 19621  inv_rcinvr 20356  LSpanclspn 20938  LSHypclsh 38951  LFnlclfn 39033  LKerclk 39061  LDualcld 39099  HLchlt 39326  LHypclh 39961  DVecHcdvh 41055  ocHcoch 41324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-riotaBAD 38929

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-undef 8280  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-0g 17458  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-lsm 19623  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-oppr 20303  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-drng 20700  df-lmod 20829  df-lss 20899  df-lsp 20939  df-lvec 21071  df-lsatoms 38952  df-lshyp 38953  df-lcv 38995  df-lfl 39034  df-lkr 39062  df-ldual 39100  df-oposet 39152  df-ol 39154  df-oml 39155  df-covers 39242  df-ats 39243  df-atl 39274  df-cvlat 39298  df-hlat 39327  df-llines 39475  df-lplanes 39476  df-lvols 39477  df-lines 39478  df-psubsp 39480  df-pmap 39481  df-padd 39773  df-lhyp 39965  df-laut 39966  df-ldil 40081  df-ltrn 40082  df-trl 40136  df-tgrp 40720  df-tendo 40732  df-edring 40734  df-dveca 40980  df-disoa 41006  df-dvech 41056  df-dib 41116  df-dic 41150  df-dih 41206  df-doch 41325  df-djh 41372

This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  41503