Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2q Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2q 38812
 Description: Lemma for lclkr 38822. The sum has a closed kernel when 𝐵 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2q.bn (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑈))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2q (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2o.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrlem2o.o . 2 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrlem2o.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2m.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lclkrlem2m.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6 lclkrlem2m.z . 2 0 = (0g𝑆)
7 eqid 2801 . 2 (0g𝑈) = (0g𝑈)
8 lclkrlem2o.a . 2 = (LSSum‘𝑈)
9 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 lclkrlem2m.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 eqid 2801 . 2 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12 lclkrlem2n.l . 2 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13 lclkrlem2m.d . 2 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14 lclkrlem2m.p . 2 + = (+g𝐷)
15 lclkrlem2o.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 lclkrlem2m.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
17 lclkrlem2m.q . . . . 5 × = (.r𝑆)
18 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑆)
19 lclkrlem2m.m . . . . 5 = (-g𝑈)
20 lclkrlem2m.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
21 lclkrlem2m.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
22 lclkrlem2m.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐹)
23 lclkrlem2m.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
241, 3, 15dvhlvec 38398 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
25 lclkrlem2q.b . . . . 5 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
26 lclkrlem2q.n . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
274, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26lclkrlem2m 38808 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
2827simpld 498 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
29 lclkrlem2q.bn . . 3 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑈))
30 eldifsn 4683 . . 3 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝐵𝑉𝐵 ≠ (0g𝑈)))
3128, 29, 30sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
32 lclkrlem2q.le . 2 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
33 lclkrlem2q.lg . 2 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
3427simprd 499 . 2 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
354, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29lclkrlem2o 38810 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21lclkrlem2l 38807 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ∖ cdif 3881  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  -gcsg 18100  LSSumclsm 18754  invrcinvr 19420  LSpanclspn 19739  LSHypclsh 36264  LFnlclfn 36346  LKerclk 36374  LDualcld 36412  HLchlt 36639  LHypclh 37273  DVecHcdvh 38367  ocHcoch 38636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36265  df-lshyp 36266  df-lcv 36308  df-lfl 36347  df-lkr 36375  df-ldual 36413  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tgrp 38032  df-tendo 38044  df-edring 38046  df-dveca 38292  df-disoa 38318  df-dvech 38368  df-dib 38428  df-dic 38462  df-dih 38518  df-doch 38637  df-djh 38684 This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  38815
 Copyright terms: Public domain W3C validator