Theorem lclkrlem2q 41969

Description: Lemma for lclkr 41979. The sum has a closed kernel when 𝐵 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2q.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2q	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2m.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2m.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6		lclkrlem2m.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		eqid 2736	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		lclkrlem2o.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		lclkrlem2m.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		eqid 2736	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12		lclkrlem2n.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13		lclkrlem2m.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		lclkrlem2m.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐷)
15		lclkrlem2o.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
18		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
19		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
23		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24	1, 3, 15	dvhlvec 41555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
25		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
26		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2m 41965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
28	27	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
29		lclkrlem2q.bn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4731	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		lclkrlem2q.le	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
33		lclkrlem2q.lg	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
34	27	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
35	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29	lclkrlem2o 41967	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21	lclkrlem2l 41964	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  -_gcsg 18911  LSSumclsm 19609  inv_rcinvr 20367  LSpanclspn 20966  LSHypclsh 39421  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531  LDualcld 39569  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  ocHcoch 41793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lcv 39465  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841

This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  41972