Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2q Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2q 40036
Description: Lemma for lclkr 40046. The sum has a closed kernel when 𝐡 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lclkrlem2o.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
lclkrlem2q.b 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
lclkrlem2q.n (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
lclkrlem2q.bn (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2q (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2o.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lclkrlem2o.o . 2 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lclkrlem2o.u . 2 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lclkrlem2m.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lclkrlem2m.s . 2 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 lclkrlem2m.z . 2 0 = (0gβ€˜π‘†)
7 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
8 lclkrlem2o.a . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
9 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 lclkrlem2m.f . 2 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2733 . 2 (LSHypβ€˜π‘ˆ) = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
12 lclkrlem2n.l . 2 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
13 lclkrlem2m.d . 2 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
14 lclkrlem2m.p . 2 + = (+gβ€˜π·)
15 lclkrlem2o.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 lclkrlem2m.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
17 lclkrlem2m.q . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
18 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
19 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
20 lclkrlem2m.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
21 lclkrlem2m.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
22 lclkrlem2m.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
23 lclkrlem2m.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
241, 3, 15dvhlvec 39622 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
25 lclkrlem2q.b . . . . 5 𝐡 = (𝑋 βˆ’ ((((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ))) Β· π‘Œ))
26 lclkrlem2q.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  0 )
274, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26lclkrlem2m 40032 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 ))
2827simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
29 lclkrlem2q.bn . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
30 eldifsn 4751 . . 3 (𝐡 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
3128, 29, 30sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
32 lclkrlem2q.le . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
33 lclkrlem2q.lg . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
3427simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π΅) = 0 )
354, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29lclkrlem2o 40034 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝐡}) ∨ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝐡})))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21lclkrlem2l 40031 1 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  -gcsg 18758  LSSumclsm 19424  invrcinvr 20108  LSpanclspn 20476  LSHypclsh 37487  LFnlclfn 37569  LKerclk 37597  LDualcld 37635  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  ocHcoch 39860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908
This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  40039
  Copyright terms: Public domain W3C validator