Theorem lclkrlem2q 41632

Description: Lemma for lclkr 41642. The sum has a closed kernel when 𝐵 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2q.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2q	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2m.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2m.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6		lclkrlem2m.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		eqid 2731	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		lclkrlem2o.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		lclkrlem2m.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		eqid 2731	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12		lclkrlem2n.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13		lclkrlem2m.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		lclkrlem2m.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐷)
15		lclkrlem2o.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
18		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
19		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
23		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24	1, 3, 15	dvhlvec 41218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
25		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
26		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2m 41628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
28	27	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
29		lclkrlem2q.bn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4735	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		lclkrlem2q.le	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
33		lclkrlem2q.lg	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
34	27	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
35	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29	lclkrlem2o 41630	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21	lclkrlem2l 41627	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  {csn 4573  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  -_gcsg 18848  LSSumclsm 19546  inv_rcinvr 20305  LSpanclspn 20904  LSHypclsh 39084  LFnlclfn 39166  LKerclk 39194  LDualcld 39232  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  ocHcoch 41456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39085  df-lshyp 39086  df-lcv 39128  df-lfl 39167  df-lkr 39195  df-ldual 39233  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504

This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  41635